Frage von alexandra1999, 75

Lineare Algebra-Matrizen: A*C+X= -t*X+B nach X umstellen?

komme nicht weitr frage steht oben :) vielen dank schon mal

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von HanzeeDent, 36

A*C-B=-t*X-X

A*C-B=-(t+1)X

X= -(A*C-B)/(t+1)

Kommentar von HanzeeDent ,

Meinst du das?

Aber ich weiß nicht, was das mit linearer Algebra zu tun hat :/

Kommentar von alexandra1999 ,

matrizen gehören doch zum thema lineare algebra :) oder was meinst du genau?

Kommentar von HanzeeDent ,

Das ist ja nur eine Gleichung, eine Matrix ist eine Anordnung von Zahlenwerten in Tabellenform

Kommentar von alexandra1999 ,

danke für die schnelle antwort, aber wie kommst du auf (t+1)x

Kommentar von HanzeeDent ,

Ich habe -X ausgeklammert

-t*X-X = -t*X-1*X = X(-t-1) = -X(t+1)

Kommentar von alexandra1999 ,

hmm sehr interessant , ich werde mir das mal kurz durch den Kopf gehen lassen. 

Ich hatte das extra nochmal mit den Mtrizen dazu geschrieben, da es dort beim Umstellen ja besondere Regeln gibt und das ja nicht so einfach geht wie bei normalen Gleichungen:)

Kommentar von HanzeeDent ,

Das war mein Verständnisproblem, denke ich. Wenn die Variablen Vektoren sind, dann sollte das aber kein Problem sein.

Kommentar von alexandra1999 ,

in der Aufgabe steht nur, A, B, C und X stehen für Matrizen und t € R 

Kommentar von HanzeeDent ,

Ist das Abiturinhalt? Über die Rechenregeln von Matrizen weiß ich leider nichts. Das ist aber die Vorgehensweise bei Variaben Größen. Wenn sie kommutativ, assoziativ und distributiv sind, funktioniert das aber.

Kommentar von alexandra1999 ,

ich gehe mal stark davon aus, bin in der 12ten Mathe Leistungskurs. Ich denke mal alles was noch dran kommen wird ist relevant -.-

Kommentar von HanzeeDent ,

Du hast es gut, ich werde nie in den LK kommen...

Du solltest es genießen, Mathe so übersichtlich aber spannend zu haben :)

Kommentar von alexandra1999 ,

hahaha übersichtlich und entspannt? ach schön wär's :)

Kommentar von Peacemaker112 ,

hm könntest du mir den zweiten Schritt bitte erklären?

Kommentar von HanzeeDent ,

Siehe oben^^

Antwort
von poseidon42, 7

Betrachte folgende Gleichung (ich schätze mal Matrixwertig):

(IE soll dabei die Einheitsmatrix der benötigten Dimension sein)

AC + X = -t*X + B   II + t*X   II - AC

X + t*X = B - AC   II X Ausklammern

(t*IE + IE)*X = B - AC

Um nun nach X umformen zu können muss die Matrix M = (t*IE + IE)
invertierbar sein, mit dem Satz von Cramer folgt dafür die Bedingung det(M) ungleich 0, falls M invertierbar. M ist eine Diagonalmatrix und damit berechnet sich die Determinante simplerweise über das Produkt der n Elemente auf der Hauptdiagonalen, es folgt also:

det(M) = (t + 1)^n   wobei M eine nxn Matrix ist.

Wir erkennen, dass M nur für t ungleich -1 invertierbar ist, wir können in diesem Fall also M^(-1) berechnen (die Inverse), uns es folgt:

für t ungleich -1 :

M*X = B - AC   II  *M^(-1)

IE * X = X = M^(-1)*(B - AC)

Das ganze kann man auch Skalar rechnen indem du (t*IE + IE) durch den entsprechenden skalaren Ausdruck (t + 1) ersetzt, in diesem Fall verläuft die Argumentation analog, die Inverse zu (t + 1) wäre dann ja 1/(t + 1) und diese existiert nur für t ungleich - 1, für den Rest der Argumentation siehe den Fall darüber.

für t = -1 : (durch Einsetzen von t= -1 in Ausgangsgleichung)

AC + X = X + B

Falls B = AC ----> X kann beliebig sein.

Falls B ungleich AC ----> Es existiert keine Lösung für X.

Insgesamt lautet die Lösungen dieser linearen Gleichung:

t ungleich - 1 ---> X =  (B - AC)*[1/(t + 1)]

t = -1

-> B = AC ----->  X beliebig

-> B ungleich AC ------> keine Lösung

Antwort
von Melvissimo, 4

AC + X = -tX + B |+tX

AC + X + tX = B | -AC

1X + tX = B - AC | X ausklammern. 

(1+t)X = B - AC | / (1+t), falls t nicht gerade -1 ist.

X = 1/(1+t) * (B - AC).

Die dringenste Frage ist wohl, warum du X einfach ausklammern kannst.



Das geht, weil Matrizen die folgende Distributivität erfüllen:

(a + b)M = aM + bM für alle "Zahlen" a,b und alle Matrizen M.

Dass diese Regel immer stimmt, sollte klar sein: um (a+b)M zu berechnen, multipliziert man jeden Eintrag e der Matrix mit (a+b). Aber jeder Eintrag der Matrix ist selbst eine "Zahl", und für drei Zahlen gilt immer (a+b)e = ae + be.

Das heißt, die Matrix (a+b)M besteht aus den Einträgen der Form ae + be. Damit können wir sie aber aufteilen in zwei Matrizen; die eine hat die Einträge der Form ae und die andere die Einträge der Form be. Dies sind gerade die Matrizen aM und bM.

=> (a+b)M = aM + bM.


Antwort
von samurain, 12

-> Lösung: A*C-B=-t*X-X A*C-B=-(t+1)X X= -(A*C-B)/(t+1)

Kommentar von alexandra1999 ,

hey danke für die Antwort, werde mir das auch noch mal genauer angucken und versuchen nachzuvollziehen

Kommentar von samurain ,

Okay :-)

Kommentar von samurain ,

Hoffe es stimmt...

Kommentar von alexandra1999 ,

hab das jetzt nochmal nachgerechnet, müsste man am Ende dann nicht x= A*C-B*(-t-1)^-1 stehen haben? das mit dem bruch bringt mich durcheinander, hatten das bisher noch nicht mit Bruch nur mit ^-1und so

Kommentar von alexandra1999 ,

hab das jetzt so gemacht in ein paar mehr schritten:)

A*C+X=-t*X+B  | -X

A*C= -t*X+B-X  | -B

A*C-B= -t*X-X 

A*C+B= (-t-X)X | *(-t-X)^-1

A*C+B*(-t-X)^-1=X

ist das so richtig? :/

Kommentar von Oubyi ,

Kann doch gar nicht richtig sein, da auf der linken Seite auch noch X steht.
A*C-B= -t*X-X
folgt:
A*C-B= (-t-1)X
und das AC+B ist wohl ein Flüchtigkeitsfehler?
Dann sollte es richtig werden.
Die ^-1-Schreibweise ist imho ok, wenn auch der Bruchstrich eigentlich zuerst bekannt sein sollte.
Ach so:
A*C-B muss noch eingeklammert werden, also:
(A*C-B)*(-t-1)^-1=X
Ich hoffe, ich bin jetzt nicht selbst durcheinander gekommen, meine letzte Mathe-Stunde ist schon -zig Jahre her.

Kommentar von alexandra1999 ,

ups.. hab statt 1 in den klammern x geschrieben

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