Frage von coconutohg, 40

Lineare algebra aufgaben schwierigkeiten?

Hallo zusammen,

Die augaben scheinen einigen sehr einfach vorzukommen, ich aber komme absolut nicht damit klar :-/ ich habs einige male versucht aber ehrlichgesagt weiß ich nichtmal wie ich anfangen soll... :-(

Ich hoffe jemand kann es mir zeigen Ich danke jz schonmal für jede hilfreiche antwort:-)

Lg miriam

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von FataMorgana2010, 35

Die eine Aufgabe habe ich unten aufgeschrieben. Die nächste ist einfach viel Schreib- und Rechenarbeit. Die mit den symmetrischen Gruppen ist letztlich sehr einfach - welche symmetrischen Gruppen sind denn überhaupt abelsch? Und die letzte löst man, in dem man die Körperaxiome verwendet. Steckt auch nix hinter. 

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 40

Ich habe mich entschlossen mal einen echten Wert für Lambda einzusetzen.

Lambda = 3

I.) x _ 2 + x _ 4 = 3 * x _ 1

II.) x _ 1 + x _ 3 = 3 * x _ 2

III.) x _ 2 + x _ 4 = 3 * x _ 3

IV.) x _ 1 + x _ 3 = 3 * x _ 4

--------------------------------------------------------------------------------------------------

I.) - 3 * x _ 1 + 1 * x _ 2 + 0 * x _ 3 + 1 * x _ 4 = 0

II.) 1 * x _ 1 - 3 * x _ 2  + 1 * x _ 3 + 0 * x _ 4 = 0

III.) 0 * x _ 1 + 1 * x _ 2 - 3 * x _ 3 + 1 * x _ 4 = 0

IV.) 1 * x _ 1 + 0 * x _ 2 + 1 * x _ 3 - 3 * x _ 4 = 0

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Matrix -->

A =

(-3, 1, 0, 1)

(1, -3, 1, 0)

(0, 1, -3, 1)

(1, 0, 1, -3)

b = (0,0,0,0)

Lösung :

x _ 1 = 0

x _ 2 = 0

x _ 3 = 0

x _ 4 = 0

Wenn man für Lambda statt 3 den Wert 2 setzt, also Lambda = 2, dann erhält man -->

A =

(-2, 1, 0, 1)

(1, -2, 1, 0)

(0, 1, -2, 1)

(1, 0, 1, -2)

b = (0,0,0,0)

Lösung :

x _ 1 = 0

x _ 2 = 0

x _ 3 = 0

x _ 4 = 0

Wenn man dass noch mit mehreren anderen Lambdas macht, dann erhält man immer diese Lösung für x _ 1 bis x _ 4, also kann man sagen -->

x _ 1 = 0 * Lambda

x _ 2 = 0 * Lambda

x _ 3 = 0 * Lambda

x _ 4 = 0 * Lambda

Keine Ahnung, ob man das so schreiben darf.

Es ist für alle Lambda Null.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Keine Ahnung, ob du dieses LGS per Hand auflösen musst, ich weiß nicht wie.

Ich vermute die Lösung hat direkt etwas mit der Matrixform zu tun, also dass man anhand der Matrixform die Lösung ablesen kann.

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Du kannst nicht einfach aus der Gültigkeit für ein paar beliebig gewählte Lambdas auf alle Lambdas schließen. Woher weißt du, dass das für lambda = 4314, 2432143 auch gilt? Du musst das schon allgemein beweisen. 

Kommentar von DepravedGirl ,

Ok

Antwort
von fairytale48, 23

Schreibe mal das Gleichungssystem auf, indem du den mit Lambda multiplizierten Vektor X=(x1 x2 x3 x4)^T auch auf die linke Seite bringst. danach kannst du ganz leicht eine Matrixgleichung der Form (A - lambda*E)*X=0 bilden. In dieser Gleichung ist E die EInheitsmatrix und A die Matrix

| 0 1 0 1 |
| 1 0 1 0 |
| 0 1 0 1 |
| 1 0 1 0 |


Ich nehme an, das ist kein Stoff aus dem Gymnasium. Selbst wenn, dann sollte dir die Form (A - lambdaE)X=0 alles weitere sagen. Vielleicht sagt dir auch das Wort Eigenwertproblem etwas? Das prinzipüielle weitere Vorgehen ist etwa so: Eine Lösung X!= 0 kann es nur geben, wenn det(A-lambda*E) ungleich Null ist. Bilde also diese Determinante. Du bekommst ein Polynom 4-ten Grades in lambda. Setze das Polynom Null und berechne diejenigen, ima allgemeinen 4, Lambdas, für die das Polynom Null ist. Die Lambdas kannst Du dann wieder in die Ausgangsgleichung einsetzen und dann vier Lösungsvektoren berechnen. Diese Lösungsvektoren nennt man auch Eigenvektoren (sie stehen Senkrecht aufeinander). Durch den genauen Rechenweg musst du dich schon selbst quälen - ist ganz wichtig, sonst lernst du's nicht!

Kommentar von fairytale48 ,

hier http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/default.aspx kannst du das Problem rechnen lassen....

Antwort
von coconutohg, 30

also kann ich das nicht so wie depravedgirl lösen?.. wie mache ich das denn allgemein?

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Du hast ja nix anderes als ein stinknormales Gleichungssystem. Das formst du um. Dabei merkst du an bestimmten Stellen, dass lambda bestimmte Werte nicht haben sollte... oder eben doch sollte. 

Zunächst einmal sollte dir auffallen, dass die Gleichung sich ja sehr ähneln: 

I.) x _ 2 + x _ 4 = lambda * x _ 1

II.) x _ 1 + x _ 3 = lambda * x _ 2

III.) x _ 2 + x _ 4 = lambda * x _ 3

IV.) x _ 1 + x _ 3 = lambda * x _ 4

Aus I. und III. folgt durch Gleichsetzen (links steht ja derselbe Term): 

I'. lambda x_1 = lambda x_3. 

Aus II. und  IV. folgt ebenso

II' lambda x_2 = lambda x_4. 

Jetzt würde ich natürlich gerne durch lambda teilen, d. h. ich muss eine Fallunterscheidung machen für lambda = 0 und lambda nicht gleich 0. 

Fall 1: lambda = 0. Dann vereinfacht sich das Gleichungssytem zu 

x _ 2 + x _ 4 = 0 

x _ 1 + x _ 3 = 0

D. h. die Lösungen für lambda = 0 haben die Form 

{(a, b, -a, -b) | a, b aus R}. 

Fall 2: lambda ungleich Null. Dann kann ich I' und II' durch lambda teilen und bekomme

x_1 = x_3

x_2 = x_4. 

Nun muss ich aber aufpassen, beim Gleichsetzen habe ich ja jeweils eine Summe gleichgesetzt, dabei sind Bedingungen verloren gegangen. Daher setze ich das eben gewonnene jetzt ein: 

2 x_2 = lambda * x_1 =>  x_2 = lambda/2 * x_1

2 x_1 = lambda * x_2. 

d. h. 

2 x_1 = lambda * (lambda/2 * x_1) = lambda² * x_1 * 1/2

daraus folgt das entweder x_1 = 0 (und damit alle anderen auch) oder

4 = lambda² gilt, d. h. damit es mehr Lösungen als (0,0,0,0) gibt, muss lambda = 2 oder lambda = -2 gelten. 

Gilt lambda = 2, dann liegen die Lösungen in der Menge

{(a,a,a,a)| a aus R}, 

gilt lambda = -2, dann in der Menge

{ (a, -a, a, -a) | a aus R}.

Zusammengefasst: 

lambda = 0: L = {(a, b, -a, -b) | a, b aus R}.

lambda = 2: L= {(a,a,a,a)| a aus R}

lambda = -2: L = { (a, -a, a, -a) | a aus R}.

lambda sonst: L = {(0,0,0,0)}

Und der weitere Rat: Hast du dir endlich eine Übrungsgruppe gesucht, mit der du gemeinsam lernen willst? Sonst geht das schief. Das sind immer noch Anfängeraufgaben. Und es wird nicht leichter!

Kommentar von fairytale48 ,

der Lösungsvektor für lambda = 0 ist nicht richtig.Man kann sich durch Einsetzen leicht davon überzeugen. lambda=0 ist ein doppelter Eigenwert. Es gibt deshalb zwei Lösungs(Eigen-)vektoren zu lambda=0. Diese sind jedes Vielfache von  v1=(-0.707 0.000 0.707 0.000)^T und v2=( 0.000 -0.707 0.000 0.707)^T. "0.707" steht für Wurzel(1/2).

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten