Frage von okarin, 111

Lineare Algebra Äquvivalenz von Bedinhungen?

Hallo,

ich hab mir ein Buch zur linearen Algebra gekauft hab aber irgendwie noch kein wirkliches Gefühl für
Beweise evtl. wollt ihr mir bei der ersten Aufgabe ja mal helfen.

Viel dank für alle antworten.
Jonas

Antwort
von Melvissimo, 59

Um eine Äquivalenz zweier Aussagen A und B zu zeigen, musst du beweisen, dass A => B und B => A gilt (aus A folgt B und umgekehrt). 

In deinem Fall sind es 3 Aussagen, deren Äquivalenz man zeigen soll. Normalerweise versucht man in solchen Fällen einen "Ringschluss" um sich Arbeit zu sparen, aber wenn du mit der Logik noch nicht so ganz vertraut bist, bleiben wir lieber bei obiger Variante.

Ok, wir müssen jetzt z.B. aus der ersten Aussage die zweite Aussage folgern. Das heißt, wir nehmen an, dass die erste Aussage wahr ist:

v ≠ 0 und es gibt keine reelle Zahl s mit w = sv.

Wir müssen mit diesen Voraussetzungen folgern, dass die zweite Aussage stimmt. Zunächst zeigen wir also, dass w ≠ 0 ist. Dies mache ich mittels Widerspruchbeweis:

Wenn w = 0 wäre, so wäre w = 0v. Das heißt die Gleichung w = sv wäre für s=0 korrekt, was aber nach unseren Voraussetzungen unmöglich ist. 

Da das also keine Option ist, muss w ≠ 0 sein. Als nächstes zeigen wir, dass es kein reelles s gibt, sodass v = sw ist. Ich führe wieder einen Beweis durch Widerspruch:

Angenommen, wir hätten so ein reelles s. Weil v ≠ 0 ist, ist s ≠ 0. Das heißt, wir können die Gleichung v = sw durch s teilen und erhalten 

w = (1/s)v. Aber s' := 1/s ist eine reelle Zahl und nach Voraussetzung gibt es keine reelle Zahl s', für die w = s'v gilt. Hier haben wir also den Widerspruch.

Also gibt es kein reelles s mit v = sw. Damit sind alle Punkte der zweiten Aussage gezeigt und wir sind mit diesem Teil fertig.

Als Übung kannst du ja mal aus der zweiten Aussage die erste folgern (das geht im Prinzip genauso) und dich dann daran probieren, aus der ersten oder zweiten die dritte zu folgern und umgekehrt. 

Das Prinzip ist stets: Schau dir die Voraussetzung an, schreib auf, was gegeben ist (schreib dir gegebenenfalls die Definitionen dazu auf), schreib auf, was du zeigen willst und finde einen Weg, beides zu verbinden.

Kommentar von okarin ,

Danke für die Antwort. Ich glaub ich verstehe jetzt fast alles, was ich leider noch nicht versteh warum s nicht 0 sein darf.

Kommentar von Melvissimo ,

Meinst du hier?

Wenn w = 0 wäre, so wäre w = 0v. Das heißt die Gleichung w = sv wäre für s=0 korrekt, was aber nach unseren Voraussetzungen unmöglich ist. 

Das Problem hierbei ist nicht, dass s = 0 ist, sondern dass die Gleichung w = sv stimmt. In unseren Voraussetzungen steht nämlich, dass die Gleichung w = sv niemals stimmt.

Kommentar von okarin ,

Achso und ham wir jetzt nicht eher bewiesen das die Aussagen sich widersprechen?

Kommentar von Melvissimo ,

Nein. Ich habe zwar einige Widersprüche verursacht, die dienten aber alle dem Zweck, die Implikation zu beweisen. Du musst stets im Auge behalten, welche Annahme den Widerspruch verursacht hat:

Mein erster Widerspruch ist entstanden, weil ich w = 0 angenommen habe. Das durfte ich also gar nicht, d.h. w ≠ 0 musste richtig sein (wie es ja auch in der zweiten Aussage steht).

Mein zweiter Widerspruch ist entstanden, weil ich angenommen habe, dass es irgendein reelles s gibt, für das v = sw gilt. Das durfte ich also nicht, d.h. es gibt kein reelles s, für das v = sw gilt (wie es ebenfalls in der zweiten Aussage steht).

Ich habe die Widersprüche nur benutzt, um alles auszuschließen, was der zweiten Aussage entgegenwirkt.

Kommentar von okarin ,

Sorry hatte in letzter Zeit n bisschen zu tuen hab deswegen kein Mathe geschafft ich schick schnell n Bild wo ich meine das es der Beweis zu aus der 1. Aussage folgt die 3. ist.

Kommentar von okarin ,

Ach Mist man kann ja nich auf seine eigenen Fragen antworten ok dann Tipp ichs morgen ab.

Kommentar von okarin ,

Ok warte klappt doch nicht so wie ich mir das vorgestellt hab. Darf ich eigentlich die Äquvivalenz der 1. zur 2. Aussage als vorraussetzung für den Beweis der äquvivalenz der 1. zu 3. Aussage nehmen?

Kommentar von Melvissimo ,

Ja, das darfst du. Wenn eine Aussage A äquivalent zur Aussage B ist und B äquivalent zu C ist, ist damit automatisch A äquivalent zu C.

Vereinfacht: Wenn a = b und b = c ist, dann ist auch a = c. 

Da du schon gezeigt hast, dass A und B äquivalent sind, kannst du jederzeit A durch B in deinem Beweis ersetzen.

Kommentar von okarin ,

Ok dann geht's ja:

1. -> 3.
Die Aussage ist nur falsch wenn 1. wahr ist und 3. falsch:
3. ist nur falsch wenn t*v+u*w = 0 wahr ist und t=0 und u=0 falsch.

Nehmen wir also als erstes an t ist nicht 0 und u=0.
Dann ist t*v = 0 und somit v=0.
Laut 1. darf v aber nicht 0 sein.

Nun nehmen wir an t=0 und u ist nicht 0.
Dann ist u*w = 0 und somit w=0.
1. ist ja wie schon bewiesen Äquvivalent zu 2. und laut 2. darf w nicht 0 sein.

Zuletzt nehmen wir an t ist nicht 0 und u ist nicht 0. Dann ist v = - (u*w)/t.
=> w = -(s*u*w)/t => -s*u = t

Für w gilt dann w = - (t*v)/u.
=> v = - (s*t*v)/u => -s*t = u
=> s= 1 => u=-t => t=s*t das ist nur für t = 0 wahr t darf aber nicht 0 sein.

Von 3. -> 1. hab ich leider noch nicht bewiesen. Kannst ja mal Beurteilen obs passt erst recht der letzte Schritt kommt mir komisch vor.
Mich würd jetzt noch interessieren wie ein Beweis von 1. -> 3. aussieht wenn ich nicht die Äquivalenz von 1. <-> 2 hab?

Kommentar von Melvissimo ,

Die ersten beiden Schritte sind ok. Bei deinem letzten Schritt verstehe ich nicht so ganz, wo plötzlich ein s herkommt; das hast du nirgends definiert. (Somit verstehe ich leider auch nicht den Rest des letzten Absatzes).

Hier ein Beweis von 1 -> 3:

Sei tv + uw = 0. Angenommen, u wäre nicht 0. Dann ist

w = (-t/u)v. Nun ist (-t/u) eine reelle Zahl. Für s := (-t/u) erhalten wir daher die verbotene Gleichung: w = sv (Widerspruch zur Voraussetzung).

Das heißt, u muss 0 sein. Damit ist tv = 0. Da nach Voraussetzung nicht v = 0 ist, muss somit t = 0 sein.

Somit ist t = u = 0. 

Kommentar von okarin ,

Ups jetzt weiß ich glaub ich was falsch ist, ich hab einfach angenommen das für alle s w = s*v gilt. Und nicht das Gegenteil. Also das s sollte halt das von w = s*v sein.
Ich häts also im Grunde dann auch auf deine Art machen müssen.

Kommentar von okarin ,

Noch mal ne frage zu deinem Beweis von 1->2. Was wär eigentlich wenn w=0 wäre und es eine relle Zahl s für v=s*w. Müsste man das nicht auch noch beweisen oder warum kann man den Fall einfach ignorieren? Dann hättest du nämlich meiner Meinung nach ein Problem das wegen v ungleich 0 auch s ungleich 0 ist da du dann ja nicht mehr v/w Teilen darfst.

Kommentar von Melvissimo ,

Ich habe den Fall nicht ignoriert:


Wenn w = 0 wäre, so wäre w = 0v. Das heißt die Gleichung w = sv wäre für s=0 korrekt, was aber nach unseren Voraussetzungen unmöglich ist. 

Hier habe ich ausgeschlossen, dass w = 0 ist. Damit habe ich insbesondere ausgeschlossen, dass w = 0 ist und v = sw für eine reelle Zahl s gilt.

(Das folgt einfach aus der Logik: Wenn Aussage A falsch ist, dann ist Aussage "A und B" erst recht falsch)


da du dann ja nicht mehr v/w Teilen darfst.


Ich darf sowieso nicht durch w teilen, weil w ein Vektor und keine Zahl ist!

Kommentar von okarin ,

Ok stimmt ich bin irgendwie davon ausgegangen das hieße soviel wie die Aussage ist falsch wenn w = 0 ist und es kein s für v = s*w gibt. Aber du hast ja für deinen Beweis w ungleich 0 gar nicht wissen müssen das es diese Aussage gar nicht gibt.
Dann versteh ich trotzdem noch nicht wie du durch v ungleich 0 auf s ungleich 0 kommst. Davor bin ich davon ausgegangen du hast v = s*w umgestellt aber da das ja Vektoren sind funktioniert das nicht.

Kommentar von Melvissimo ,

Es gilt v = sw und v ist nicht 0. Aber wenn s = 0 wäre, hätten wir:

v = sw = 0w = 0. (Widerspruch zu v ungleich 0)

Kommentar von okarin ,

Ok 3->1:
Angenommen v=0:
Dann wäre t*0+u*w=0
t könnte in diesem fall jede beliebige Zahl Annehmen und t*0 wäre 0
d.h. t müsste nicht notwendigerweise 0 sein d.h die Aussage 3 ist falsch was zu einem Widerspruch führt.

Angenommen es gibt ein s für w=s*v:
Dann gilt (t+u*s)*v = 0. (durch einsetzen in t*v+u*w=0)
d.h. t+u*s=0 => u*s=-t
d.h t müsste nicht notwendigerweise 0 sein wenn s und u nicht 0 sind was ein Widerspruch dazu ist, dass aussage 3 wahr sein muss.

Bsp: u=1 und s=2:
t=-2 => (-2+1*2)*v = 0 ist wahr

Kommentar von Melvissimo ,

Ich glaube, du meinst exakt das richtige. Allerdings müssen wir noch etwas an der Schreibweise feilen:

Angenommen v=0:

Dann wäre t*0+u*w=0

Du hast im Moment weder ein t, noch ein u gegeben. Bevor du mit irgendwelchen Variablen rechnest, musst du erklären, was sie sind (das ist genauso wie beim Programmieren: Bevor du eine Variable im Programm verwenden kannst, musst du sie deklarieren.)

Das heißt, wenn du mit t und u rechnen möchtest, musst du sie explizit definieren.

Zum Beispiel könntest du t := 1 und u := 0 setzen. Dann gilt (wie du später richtig festgestellt hast):

t * v + u * w = 1 * 0 + 0w = 0, was wegen Voraussetzung (3) nicht sein darf.

Angenommen es gibt ein s für w=s*v:

Dann gilt (t+u*s)*v = 0. (durch einsetzen in t*v+u*w=0)

Hier genau dasselbe: t und u tauchen hier aus dem Nichts auf. Du musst erst einmal erklären, was das für Zahlen sind. Z.B.:

Sei t := s und u := -1. Dann gilt:

t*v + u*w = s*v - w = w - w = 0, was wegen (3) wieder nicht sein darf.

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