Frage von katze19, 80

Lineare Abbildungen Mathe?

Betrachten wir die linearen Abbildung ϕ : R ^2 → R ^3 mit ϕ(x1 , x2 ) = (x2 , x1 , 3x1 − x2 ) ^T.

Bestimmen Sie Kern(ϕ) und Bild(ϕ) und geben Sie jeweils eine Basis dieser Räume an.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 42

Der Kern ist ja definiert als die Menge aller Urbildvektoren, die auf den Nullvektor des Bildraums abgebildet werden.

Welche Bedingungen müssen x1 und x2 erfüllen, damit (x2, x1, 3 x1 - x2)^T = (0, 0, 0) ist?

Um eine Basis des Bildraums zu ermitteln, kannst du von einer Basis des Urbildraums ausgehen. Auf diese Basis wendest du die Abbildung an. Das entstehende Vektorsystem streichst du solange Vektoren raus, die von den anderen Vektoren des Systems linear abhängig sind, bis eine linear unabhängige Menge übrig bleibt. Diese ist eine Basis des Bildraums.

Wie Monsieurdekay schon sagte, Dimension des Bildraums + Dimension des Kerns = Dimension des Urbildraums. Das kann helfen, z. B. wenn die Dimension des Kerns 0 ist.

Antwort
von FataMorgana2010, 31

Fangen wir mit Kern(ϕ) an.

Kern(ϕ) ist die Menge aller Elemente aus R², die auf den Nullvektor im R³ abgebildet werden. 

D. h. (x2, x1, 3x1 - x2) = (0,0,0). 

Der Vergleich der Komponenten ergibt sofort, dass nur der Nullvektor aus dem R² im Kern liegt. Es ist also 

Kern(ϕ)  = {(0,0)^t}

Mit dem von Monsieurdekay angegebenen Dimensionssatz folgt dann für die Dimension des Bildes von ϕ

dim(Bild(ϕ)) = 2. 

Und wie das Bild dann aussieht, das schaffst du jetzt auch. 

Antwort
von Monsieurdekay, 50

Lineare Algebra ist bei mir schon eine ganze Weile her, aber mir ist noch die Dimensionsformel geläufig:

Dim(Vektorraum)= Dim (Kern(f)) + Dim (Bild(f))

wobei der Kern die Menge aller Vektoren ist, die auf den Nullvektor abgebildet werden


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