Frage von Okey55, 24

liegt der punkt b in der ebene E: bitte hilfe morgen klausur?

hallo! ich brauche hilfe in mathe. ich shee überhaupt nicht durch...

aufgabe; prüfen sie ob der Punkt B(3/2/-4) in der ebene E:x = (2/2/4)+r(2/0/-1)+s(4/0/-6)

bei meinem lgs steht dann 2=2 aber wie gehts dann weiter ?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 2

Hallo,

Du kannst die Ebenengleichung auch über das Kreuzprodukt in eine Koordinatengleichung umwandeln, dann kannst Du den fraglichen Punkt direkt eingeben und prüfen, ob die Gleichung aufgeht:

(2/0/-1)x(2/0/-3) (den zweiten Richtungsvektor habe ich durch 2 gekürzt):

(0/-4/0)

0x-4y+0z=a

a bekommst Du heraus, indem Du den Stützvektor für x, y und z einsetzt. da x und z=0, brauchst Du nur die y-Komponente, also 2:

-4*2=-8

Die Ebenengleichung in der Koordinatenform lautet also -4y=-8 oder 
y=2 (nach Kürzen durch -4)

Jeder Punkt, dessen y-Komponente 2 ist, liegt in der Ebene, also auch Punkt B (3/2/-4), denn seine y-Komponente ist die 2, die x- und z-Komponenten sind frei wählbar.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Diese Ebene ist übrigens eine Parallele zur x-z-Ebene und schneidet bei y=2 die y-Achse.

Antwort
von densch92,

Das ist dann aber kein LGS wenn da nur 1 Gleichung steht :-D

Ne, aber der Grundgedanke ist richtig.
Einfach mal beides gleichsetzen.

Das ergibt aber sogar 3 Gleichungen:
3=2+2r+4s
2=2
-4=4-1r-6s

Wie du schon selbst gemerkt hast, bringt dir die Gleichung 2=2 wenig.
Die anderen beiden allerdings schon!
Nimm mal die 2 Gleichung und versuch irgendwie r und s rauszukriegen.

Gelingt dir das, dass du für r und s jeweils einen Wert rauskriegst, dann ist der Punkt in der Ebene.
Solltest du keine Lösung finden (weil es irgendwo Wirdersprüche gibt oder die 2 Gleichungen nur Vielfache voneinander sind), dann ist der Punkt nicht in der Ebene.

Wenn ich mir die Gleichungen so angucke, sollte da aber eine eindeutige Lösung für r und s rauskommen und der Punkt in der Ebene liegen.

Aber rechne es besser nochmal nach :-)

Antwort
von AnglerAut, 15

2 + 2r + 4s = 3

2 = 2

4 - r - 6s = -4

Diese 3 Gleichungen müssen erfüllt sein. Die 2te Gleichung ist erfüllt, jetzt musst du nur noch ein r und ein s finden, damit beide anderen Gleichungen erfüllt sind.

2 Gleichungen, 2 Unbekannte, also lösbar.

Kommentar von Okey55 ,

hää ich hab jetzt -5=s und jetzt `?

Kommentar von AnglerAut ,

Du rechnest s und r aus, wenn du diese gefunden hast, dann weißt du, dass der Punkt auf der Ebene liegt. Hier bist du schon fertig. Es gibt r und s, so dass die Gleichungen alle richtig sind, daraus folgt, der Punkt liegt auf der Ebene.

Allerdings glaube ich du hast dich mit dem - 5 verrechnet.

Kommentar von Okey55 ,

okay habs dnake

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 2

2r+4s=1  und

-r - 6s = -8    dann

Antwort
von thomakles, 12

Lgs = lineares Gleichungssystem?

Kommentar von Okey55 ,

ja wie ?

Kommentar von thomakles ,

Schau in der Antwort von AnglerAut. Der hat das ganz treffend beschrieben. Der Punkt liegt in der Ebene, wenn du das Gleichungssystem auflösen kannst. Wenn du keine Werte für s und r herausbekommen kannst, liegt der Punkt nicht in der Ebene

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