Frage von Naydoult, 23

LGS zeichnerisch lösen bei "anderen" Variablen?

https://www.youtube.com/watch?v=SO0VTahpRnk

Daniel Jung zeigt einfach wie man zeichnerisch im R² ein LGS auflöst. Doch ich frage mich wie sieht es denn jetzt aus, wenn ich folgende Struktur hätte:

1.) x_1+x_2=4 2.) 2x_1+x_2=8

Eine lineare Funktion hat die Form: y=bx+c

Hätte ich statt x_1 und x_2 x und y genommen, so lässt sich nach y lösen. Genau dasselbe Ergebnis erziele ich allerdings auch, wenn ich x_2 wie y behandle. y ist doch lediglich eine Variable wie x_2 und besitzt doch keine tiefere Bedeutung.

Darauf folgt doch das ich eben immer nach der zweiten Variable auflöse, wieso? Gesagt wird nach y, nicht nach der zweiten Variable.

Danke!

Antwort
von poseidon42, 15

Variablen sind in der Mathematik nur Platzhalter für Mengen von einsetzbaren Zahlen.

So kann ich mir ein LGS der Form:

1.)  x + y = 0

2.) 2x - y = 1

Das kann ich dann wie ich möchte nach x und y auflösen.

Wenn ich jetzt ein 2tes LGS hinschreibe:

1.)  a + b = 0

2.) 2a - b = 1

Dann kann ich hier an dieser Stelle mit a = x und b = y die gleichen Ergebnisse für a und b wie die für x und y erwarten und anders herum.

Damit ist es im Endeffekt egal ob ich eine Variable innerhalb einer Gleichung a,b,c, Banane, Karl_Heinz oder Wurst nenne, nur wenn ich ihr einen Namen gegeben habe muss ich diesen auch weiter verwenden.

An deinem Beispiel vielleicht mal:

1.) a + b = 4

2.) 2a + b = 8

Wir formen 1 und 2 in 2 lineare Funktionen in Abhängigkeit der Variable, b zum Beispiel, um (ob b oder a ist egal):

1) ---> a = 4 - b

2) ---> a = 4 - b/2

Dadurch gewinnen wir nun 2 Geradengleichungen im IR^2 . Wir wissen falls wir eine Wertekombination aus a und b für Gleichung 1 finden, so muss diese ebenso die zweite Gleichung erfüllen.
Um die Wertepaare unterscheiden zu können, hängen wir noch kleine Indizes an die beiden Variablen:

---> a_1(b_1) = 4 - b_1

---> a_2(b_2) = 4 - b_2

Angenommen wir haben ein Wertepaar (a_1 |  b_1) für Gleichung 1 gefunden, so muss dieses ebenso die Gleichung 2 erfüllen, dass heißt:

a_1(b_1) = a_2(b_1)

Dass heißt, dass eine Lösung dem Schnittpunkt beider Funktionen a_1 und a_2 gleichzusetzen ist. (Im Endeffekt suchst du nach der Schnittmenge beider Lösungsräume)

Kommentar von Naydoult ,

Danke für die Antwort, also egal nach welcher ich auflöse. ;-)

Antwort
von KoonChris, 18

Es ist letztlich völlig egal wie die Variablen heißen und nach welcher du umstellst. Du könnstest anstatt Buchstaben auch einen Kreis und ein Viereck nehmen. ;)

Kommentar von Naydoult ,

Wenn ich nach x_1 umstelle bekomme ich eine andere Funktion als wenn ich nach x_2 umstelle.

Kommentar von KoonChris ,

Die beiden Geraden aus deinem Beispiel sehen dann zwar anders aus, aber deren Schnittpunkt bleibt der selbe.
Das liegt daran, dass die Achsen dann auch anders sind.

Quasi als würde man das Koordinatensystem so drehen/spiegeln, dass x-Achse senkrecht und y-Achse waagerecht ist.

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