Frage von BatmanZer, 102

Leitet man da/dt bzw. d^2a/dt^2 mit der Quotientenregel ab?

Hallo, ich bin es mal wieder. Diese Frage bezieht sich (mal wieder) auf die Ableitung

å = da/dt ; ä = d^2a/dt^2.

Ich habe mir daraufhin gestern ein bisschen die Differentialrechnung und Integralrechnung angeschaut und eben auch die Regeln. Allerdings waren das nur Beispiele mit Zahlen und Variablen, z.B.

f(x) = (5x^3-2)(2x) 

=> f'(x) = (15x^2-2)(2x) + (2)(5x^3-2x)

=> Produktregel für f(x) = a(x)*b(x): f'(x) = [(a'b-b'*a)/b^2]

(Ich nehme a und b anstatt u und v ;) ). Jetzt haben wir aber

da/dt bzw. (d/dt) a.

Ich weiß bereits, dass man a nach t auflöst (also a(t)) und dass d/dt ein Operator ist.

Leider habe ich aber keine Ahnung, was ein Operator ist und kann im Internet auch nichts passendes finden, da immer nur spezielle Operatoren beschrieben werden (Hamilton-Operator,...).

Die Quotientenregel darf man hier offensichtlich nicht anwenden, sonst würde 0 rauskommen und nicht d^2a/dt^2.

So viel ich weiß, muss man jetzt da/dt als å in den Operator einsetzen:

d (da/dt) / dt.

Aber jetzt komme ich nicht weiter. Darf man den Term jetzt einfach lösen, also so wie man einen 'ganz normalen' Bruch lösen würde, oder gibt es wieder spezielle Rechenregeln?

Und kann man auch

d^2a/(dt)^2

schreiben oder heißt es

d^2a/d*t^2 ?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 25

Ich weiß nicht so recht, warum du partout nicht die umgänglichen Bezeichnungen 
f(x)
f '(x)
f ''(x)   
usw.           verwenden willst. Sie sind besser zu tippen und für alle verständlich, zumal sich bei den dx-Definitionen doch immer wieder Tippfehler einschleichen.

Dann kann man auch ganz deutlich sagen, dass niemals erst die zweite Ableitung nach der Quotientenregel gemacht werden müsste, sondern jede, auch schon die erste, bei der du im Zähler und im Nenner eine Funktion vorfindest.

Heißt es also f(x) = (3x² - 5x) / (3x - 4) ,
ist die Quotientenregel zu verwenden.
Funktion ist immer, wenn x irgendwo vorkommt (oder seltener ein anderes Argument, nach dem du ableiten musst, - t oder was weiß ich).

Heißt es aber f(x) = (3x² - 5x) / 5 ,
bedarf es der Regel nicht, sondern du schiebst 1/5 einfach in die nächste Ableitung als Faktor hinein.

Das dx im Nenner eines Differentials hat mit dem Aussehen der Funktion nichts zu tun, genauso wenig wie -1 im Exponenten bedeutet, dass die Potenz negativ wäre.

Das Gleiche gilt analog für die Produktregel. Da kommt kein Nenner hinein, nur weil eine Darstellung der 2. Ableitung
d²f/dx² heißt.

Kommentar von BatmanZer ,

Ich benutzte die dx-Definition, weil ich es so gelesen habe (Physikbuch). Im Buch heißt es: " [...] (wobei å = da/dt bedeutet) : v (t) = d/dt delta(t) = å(t)deltaNull = å(t)/a (t)deltaNull = å(t)/a(t) delta(t) = H(t)delta(t) " Die Formel beschreibt die relative Geschwindigkeit zwischen zwei Punkten in einem zweidimensionalen expandierem Universum. Und da ich erst der 9.Klasse bin und dementsprechend keine Ahnung hatte das å die erste und ä die zweite Ableitung der Zeit in der Physik umschreibt und diese als da/dt und d^2a/dt^2 definiert waren, habe ich sie immer benutzt. Natürlich ist es übersichtlicher, wenn man f(x), f'(x) ... schreibt, aber ich weiß nicht wie man von da/dt auf f'(x) bzw. a'(t) kommt.

Kommentar von Volens ,

Das haben wir auch alle mitbekommen, dass du den Versuch gestartet hast, das Pferd von hinten aufzuzäumen. Da stolperst du jetzt über die Darstellungsmöglichkeiten, die aber in den vergangenen Threads alle schon mal vorgekommen sind.

f(x) oder f(t) ist die Funktion selber, häufig sogar nur y.

Schon bei der 1. Ableitung läuft es etwas durcheinander. Das liegt daran, dass man es nach Notwendigkeit (und Bequemlichkeit) formuliert:
ganz simple zu zeichnende Funktion wegen der y-Achse: y' = dy/dt
unabhängig vom Zeichnen:     f '(x) = d(f(x))/dx        
Zeitform:                                  f '(t)  = d(f(t))/ dt 

Manchmal zieht man dann auch d/dx oder d/dt (gelesen: d nach dx bzw. d nach dt nach vorn und schreibt die Funktion dahinter, meist noch beklammert).

Hat man nun eine Funktion vor sich, in der die Zeit t vorkommt, können sich die Benennungen ändern. Dabei muss in der eigentlichen Funktion die Zeit auch vorkommen. Der Buchstabe a hat dann gern die besondere Bedeutung "Beschleunigung". Der Strich der "normalen" Ableitung kann durch einen darüber gesetzten Punkt ersetzt werden.

http://www.fersch.de/pdfdoc/Physik.pdf

Lies dir dort mal das Kapitel über "Kinematik" durch. Wir bekommen immer wieder Verständnisschwierigkeiten, wenn du dann versuchst, irgendwelche Formeln zu diskutieren, deren Herkunft wir nicht kennen.

Wenn also a ein a(t) ist, kann man die 1. Ableitung so beschreiben:
f '(a) = a' = ȧ  (da ist ein Punkt über dem a)  = da/dt = d/dt (a(t)).

Wie es mit der 2. Ableitung weitergeht, haben wir ja schon besprochen. Bei Gleichungen mit der Zeit, kann man dann sogar zwei Punkte, verwenden; man muss aber nicht.

a''(t) = ä = d²a/dt²

Hoffentlich habe ich mich nirgends vertippt. Aber es gibt hier Kollegen, die passen auf. (Und das ist doch sehr schön. Schließlich geht es darum, alle Fragen möglichst umfassend zu beantworten, - aber nicht alles dreimal.)

Kommentar von BatmanZer ,

Ah, jetzt wird es klar. Vielen, vielen Dank.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 20

d ist ja in dem Sinne gar kein Faktor.

Dein Bruch ist der Differenzialquotient.

Das ist jetzt nicht schnell erklärt - du kannst dich mal im Internet darüber schlau machen. ^^

Er ist einfach gesagt eine andere Schreibweise für f'.

Und für deine andere Gleichung:

f(x) = (5x³ - 2x)*2x

      = 10x⁴ - 4x²

Ableiten kannst du einfach mit der Potenzregel:

f'(x) = 40x³ - 8x

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 5

Ich kenne das so

a´=da/dt dies ist die erste Ableitung von a nach der Laufvariablen t

allgemein y= f(x)= x^2 abgeleitet f´(x)= dy/dx= 2*x

hier ist f(x)=a(t)

a´´=d^2a/dt^2 dies ist die 2.te Ableitung von a nach der Laufvariablen t

Allgemein verwendet man in der Mathematik y=f(x)

1 te Ableitung y´=dy/dx=f´(x)

2.te Ableitung y´´=d^2 y/dx^2= f´´(x)

Dies sind nur andere Schreibweisen,andere Buchstaben werden verwendet.

Bei dir f(x)= (5*x^3-2)/(2*x) allgemeine Form f(x)=f1(x)/f2(x) also ein "Quotient" !

Ableitung nach der "Quotientenregel" siehe Mathe-Formelbuch "Differentationsregeln" und elementare Ableitungen.

Ein Mathe-Formelbuch,wie den "Kuchling" ,bekommst du privat in jeden Buchladen,für ca. 30 Euro

Antwort
von Australia23, 10

Ein Operator sagt dir, dass du mit "etwas" "irgendwas" machen sollst. Aber nicht mit dem Operator selbst, der "steht da nur" um dir zu sagen, was zu machen ist.

Kennst du das Summenzeichen? Es sagt dir, dass du Terme addieren sollst. Das Summenzeichen bleibt dabei aber so stehen wie es ist, es sagt dir nur, was du mit dem darauffolgenden zu tun hast.

Ableitungen kommen (soweit ich weiss) nur im Zusammenhang mit Funktionen vor. Sie sagen dir, dass du eine Funktion ableiten sollst. Mit dem Operator selbst, also z.B. dem "df/dx" passiert dabei nichts, es ist nur eine "Anweisung".

Z.B. f(x)=x^2

"df/dx" sagt dir, dass du die Funktion f(x) ableiten sollst: df/dx = 2x

"d^2f/dx^2" sagt dir, dass du die Funktion f(x) zwei mal nacheinander ableiten sollst: d^2f/dx^2 = 2

Die Notation für d^2f/dx^2 sieht schon so aus. Hier ein Bild, wie man es korrekt schreibt (erst Beste was ich gefunden habe, also die Aufgabe kannst du ignorieren ^^):

http://s3.amazonaws.com/answer-board-image/b522c7e3-c5e4-4f11-84cf-84db7f29fa26....

Kommentar von Australia23 ,

Hier was die Ableitung eigentlich "tut" (einfach mal ein Vedeo rausgepickt):

https://www.youtube.com/watch?v=9T5_Xty74YU

Die Regeln, wie z.B. x^a = a*x^(a-1), erleichtern dir nur das rechnen, tun aber eigentlich genau das (was im Video erklärt wird).

Kommentar von Australia23 ,

Ups, das hab ich jetzt sehr unschön formuliert, bzw. ist so nicht korrekt:

Die Regeln, wie z.B. x^a = a*x^(a-1)

Sollte folgendermassen stehen: [x^a] ' = a*x^(a-1)

Wobei a eine Konstante ist und nach x abgeleitet wird.

Kommentar von BatmanZer ,

Ok, vielen Dank.

Antwort
von FuHuFu, 12

d/dt bzw. d/dx ist ein Operator den Du auf eine Funktion anwenden kannst. Der Operator gibt an nach welcher Variablen Du die Funktion ableiten sollst. In der Physik ist das oft die Variable für die Zeit t. In der Mathematik verwendet man als Variable meistens x.

Wenn jetzt die abzuleitende Funktion einen Qutient darstellt, nur dann wendest Du die Quotientenregel an

d/dx (u(x)/v(x)) = [ du(x)/dx v(x) - u(x) dv(x)/dx ] / (v(x))^2.

Beispiel:

Wir betrachten die Funktion  f(x)=(x^3-4) / 3x
Diese Funktion ist ein Quotient f(x) = u(x)/v(x) mit u(x) = x^3+4  und v(x) = 3x. Dann ist

df(x)/dx = [(3x^2) 3x - (x^3-4) 3] / (3x)^2 = (9x^2 - 3x^3 + 12) / 9 x^2 `=

             = ( -3 x^3 + 9 x^2 + 12 ) / 9 x^2

Kommentar von BatmanZer ,

Danke. Wenn man jetzt d/dt a(t) hat und a = 5 und t = 2 ist, kann man dann ganz normal rechnen: d(5)/d(2)? Oder wie würde man das jetzt ableiten? Weil allein stehende Zahlen würden doch weggfallen, oder?

Kommentar von FuHuFu ,

Ich glaube, da solltest Du Dich doch noch ein bisschen mit der Differentialrechnung beschäftigen. Du kannst den Operator d/dt nur auf eine Funktion anwenden. Also wenn a(t) eine Funktion ist, dann kannst Du den Oerator darauf anwenden und bekommst eine neue Funktion. Da geht es nicht darum einen Zahlenwert auszurechnen.

Kommentar von BatmanZer ,

Oder rechnet man dann ganz einfach 5/2 um die Steigung zu erhalten?

Antwort
von karajan9, 17

Äh... heiliges Halbwissen und Respekt dafür, dass du dich mit deinem Wissensstand schon damit rumschlagen möchtest ;-)

"Operator" bedeutet in diesem Fall nur, dass "d/dt" bedeutet, dass du nach t ableiten sollst. Mit dem Hamilton-Operator hat das nichts zu tun -- und das ist auch gut, der kommt nämlich erst in nem Physikstudium dran ;-)

Ich bin mir nicht ganz sicher, was du mit der Quotientenregen machen willst. da/dt heißt, dass du a nach t ableitest. Sagen wir mal a = 0,5 g t² + v t + s (schiefer Wurf), dann ist da/dt die Ableitung davon:

da/dt = g t + v

d²a/dt² ist die zweite Ableitung, also die Ableitung von dem, was bei da/dt rauskommt:

d²a/dt² = g

d²a/dt² ist wieder nur eine Schreibweise und hat weder was mit Quadrieren noch mit einem richtigen Bruch zu tun. 

Ich hoffe, das hilft dir weiter, ansonsten stehe ich gerne bereit :-)

Kommentar von BatmanZer ,

Ich muss also einfach hinnehmen, dass d^2a/dt^2 die Schreibweise für die 2. Ableitung ist? Ich glaube was ich die ganze Zeit machen wollte ist, das ich versucht habe den Operator selbst abzuleiten, als wäre er ein ganz normaler Term wie 2x^5 * 3x .

Kommentar von karajan9 ,

Ja, das solltest du so hinnehmen. Später kann man damit noch Sachen machen, indem man es tatsächlich als Bruch interpretiert (und dann damit multiplizieren kann und so), aber für deine Zwecke reicht das völlig aus, das so zu akzeptieren ;-)

Kommentar von Willibergi ,

"Ich muss also einfach hinnehmen, dass d^2a/dt^2 die Schreibweise für die 2. Ableitung ist?"

Entweder nimmst du es stillschweigend hin oder du willst es verstehen und machst dich über den Differenzialquotienten schlau. ;)

LG Willibergi 

Kommentar von SlowPhil ,

Ich bin nicht der Meinung, dass man irgendetwas einfach stillschweigend hinnehmen sollte. Ich würde zwar nicht so weit gehen, zu sage »Es gibt keine dummen Fragen, sondern nur dumme Antworten«, aber ein wenig in die Richtung geht meine Auffassung schon.

Ich bin mit der Sesamstraße aufgewachsen, wo es im Lied immer hieß »wer nicht fragt, bleibt dumm«. Den Spruch mag ich nicht deshalb, weil er aus der Sesamstraße kommt, aber das hat mich von Anfang an überzeugt.

Wer der Bequemlichkeit halber so tut, als hätte er etwas verstanden, fragt nicht nach und nimmt einfach hin, hat eine geringere Chance, zu verstehen, als jemand, der »dumme« Fragen stellt.

Kommentar von karajan9 ,

Während ich dir grundsätzlich Recht gebe, meine ich aus einer andern Frage verstanden zu haben, dass er gerade mal in der 9. Klasse ist. Und wenn er sich jetzt schon mit Ableitungen beschäftigt, ist meiner Meinung nach ein korrektes Verständnis von "d²a/dt²" erst mal zweitrangig ;-)

Antwort
von BatmanZer, 8

* f(x) = (5x^3- 2 x ) *(2x) *

Kommentar von BatmanZer ,

Das Sternchen in der Mitte bedeutet "mal", die anderen beiden "edit".

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