Frage von fmaierhs1, 36

Lagrange Multiplikation?

Ich habe eine Frage zur Lagrange Multiplikation. Ich soll die Extrema der Funktion f(x,y)=y²-x² unter der Nebenbedingung x²+y²=9 mithilfe der Lagrange Multiplikation bestimmen.

Die Formel Fλ=Fx=Fy=0 hab ich gegeben und komm dadurch auf die Formeln:

I: -2x+2λx=0

II: 2y+2λy=0

III: x²+y²-9=0

Wie komm ich dann auf die Werte für x und y und damit auf die Punkte? Nur Gleichungssystem auflösen ist nicht ganz klar für mich, da ich dann einmal λ=1 und einmal λ=-1 und damit verschiedene Werte für x und y bekomme.

Antwort
von Stefan93, 14

Bis zu den drei Gleichungen hast du es ja richtig. Wenn du jetzt weiter kommen willst, musst du die Lambdas loswerden in den beiden ersten Gleichungen. Wie wirst du die los? Dazu musst du die erste und zweite Gleichung mit einem gewissen Faktor multiplizieren und dann beide Gleichungen addieren. Hier:

I*(-y) und

II*(x)

daraus folgt:

I: 2xy-2xyλ  und

II: 2xy+2xyλ
Jetzt beide Gleichungen addieren

I+II: 4xy

und diese Gleichung muss gleich Null sein, weil du die Nullstellen willst.

4xy=0

daraus folgt x=0 oder y=0 (beides 0 kann nicht sein, sonst verletzen wir die Nebenbedingung)

Jetzt hast du noch deine dritte Gleichung, da setzen wir die Werte ein.

III: x²+y²-9=0 mit x=0 folgt: y=3

mit y=0 folgt x=3
Deine Extrema liegen damit bei f(3,0)= - 9 und f(0,3)= 9

Und das sind auch tatsächlich die Extrema, da wir den Satz von Weierstraß anwenden dürfen.

Kommentar von fmaierhs1 ,

Vielen Dank dafür, das letzte Stück hat mir noch gefehlt :)

Wobei eigendlich müssten jeweils die + und - Werte rauskommen oder?
da man ja die positive und die negative Wurzel hat, oder?

Kommentar von Stefan93 ,

Ja das stimmt natürlich, da ist mir selbst ein kleiner Anfängerfehler untergelaufen.

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