Frage von loveislike, 4

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade?

Ein Lichstrahl aus Punkt (1/1/-9) ist auf Punkt B( -2/4/6) gerichtet. Welcher Punkt der von P1(-1/3/5), P2(-8/8/2) und P3(13/-7/3) aufgespannten Ebene wird von diesem Lichstrahl getroffen?

Hallo,

Ich versuch schon die ganze Zeit die Aufgabe zu lösen, aber ich finde keinen Ansatz zum anfangen. Wäre echt dankbar für eure hilfreichen Antworten.

Danke.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 4

Hallo,

aus den beiden ersten Punkten konstruierst Du eine Geradengleichung.

Dabei ist g=(1/1/-9)+x*[(-2/4/6)-(1/1/-9)]=(1/1/-9)+x*(-3/3/15)

Ähnlich bekommst Du die Ebenengleichung: 
Der Vektor zu Punkt 1, also (-1/3/5) ist der Stützvektor; die beiden Richtungsvektoren sind P2-P1 und P3-P1, also (-7/5/-3) und (14/-10/-2), wobei Du den letzten Vektor durch 2 teilen kannst: (7/-5/-1). Muß nicht sein, gibt aber kleinere Zahlen und das Ergebnis bleibt gleich.

Die Richtungsvektoren bekommen noch Faktoren vorangestellt, damit ihre Länge variiert werden kann, schließlich soll mit ihrer Hilfe jeder Punkt in der Ebene erreicht werden können.

Die Ebenengleichung lautet also:

E=(-1/3/5)+y*(-7/5/-3)+z*(7/-5/-1)

Nun setzt Du die Geraden- und die Ebenengleichung gleich, um die Werte für x, y und z herauszufinden, die den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene liefern.

(1/1/-9)+x*(-3/3/15)=(-1/3/5)+y*(-7/5/-3)+z*(7/-5/-1)

Daraus kannst Du ein Gleichungssystem machen, indem Du alle x und y und z nach links bringst und die beiden Stützvektoren nach rechts. Bei dem Gleichungssystem gehst Du zeilenweise vor:

-3x+7y-7z=-2
3x-5y+5z=2
15x+3y+z=14

Wenn Du dies z.B. nach dem Gauß-Verfahren löst, bekommst Du die Lösung x=2/3 y=1 z=1

Wenn Du nun x=2/3 oder y=1 und z=1 in die Ebenengleichung einsetzt, bekommst Du die Koordinaten für den Schnittpunkt.

Nimmst Du die Geradengleichung, hast Du weniger zu tun, dafür hat die Ebenengleichung für beide Richtungsvektoren die 1 als Faktor, was einfacher zu rechnen ist.

Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten (nach der Ebenengleichung):

(-1-7+7/3+5-5/5-3-1)=(-1/3/1).

Den gleichen Punkt bekommst Du natürlich auch über die Geradengleichung, wenn Du für x den Wert 2/3 einsetzt.

Herzliche Grüße,

Willy

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