kurze zusammenfassung der quaratischen ergänzung?

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3 Antworten

x im quadrat +16x-17= 0

Besser so:
x² + 16x - 17  = 0     Noch kein p,q gehabt? Nullstellen mit quadr. Ergänzung?
                               Erst mal umbauen
x² + 16x         = 17   Halbieren, Quadrieren (zahl vor x halbieren und als
                              Quadrat dainterschreiben, aber auch auf der rechten
                                          Seite, sonst wäre es keine Gleichung mehr
x² + 16x + 8²  = 17 + 64       Daraus einen quadratischen Term machen
                                          (nach der 1. Binomischen Regel)

                    http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

(x + 8)²          =  81                     Nun links und rechts die Wurzel ziehen
  x + 8           =   ± 9         | -8              auch -9 ist eine Wurzel aus 81
         x₁,₂       =   -8 ± 9               es gibt meistens 2 Lösungen
         x₁         =  1
         x₂         = -17
 

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Gehen wir von (x+z)² aus, das ist x² + 2zx + z²

Nehmen wir jetzt konkret x² + 12 x + 27 = 0, vergessen zunächst die 27.

Vor dem x steht der Faktor 12, aus der ersten Zeile wissen wir, das ist 2z.

z ist also 6 (, denn 2 mal 6 = 12).

In der ersten Zeile steht dahinter z², das hätten wir gern hier auch so. Es ist jetzt 6 (die Hälfte von 12) hoch zwei, also 36.

x² + 12 x + 36 wäre schön, damit wir nichts verändern, subtrahieren wir die 36 ganz schnell wieder, und dann war da ja noch die 27, zusammen also

x² + 12 x +36 - 36 + 27 ist das gleiche wie zu Beginn

(x² + 12 x +36) - 36 + 27, das erste ist eine bin. Formel, -36 + 27 = -9

(x+6)² - 36 + 27 =(x+6)² - 9 =0

(x+6)² = 9, also x+6 = 3 oder x+6 = -3

x = -3 oder x = -9

Allgemein: die Quadratisch Ergänzung ist die Hälfte des Faktors vor x mit sich selbst multipliziert. Dieses Quadrat wird ergänzt und sofort wieder abgezogen, so das alles gleich bleibt.

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Mit der quadratischen Ergänzung wandelt man die allgemeine Form

f(x)=a2 *x^2+a1 *x +ao in die Scheitelpunktform um f(x)=a2 *(x +b)^2 +C

b und c sind die Scheitelkoordinaten ,wobei gilt b=-x und y=C

b>0 Parabel wird auf der x-Achse nach links verschoben

b<0 Verschiebung nach rechts

Beispiel . f(x)=3 *x^2 -12 *x +13 binomische Formel (x-b)^2=x^2 - 2 b x+b^2

3 ausklammern f(x)= 3*(x^2 - 4 *x) +13 hier ist 2 *b=4 also b=4/2/ 2 und b^2=4

quadratische Ergänzung f(x)=3 *(x^2 -4 *x + 4 -4) +13

+4-4=0 dies ist die quadratische Ergänzung -4 muss hinzugefügt werden,danit sich die Gleichung nicht ändert !!

- 4 ausklammern f(x)=3 *(x^2 - 4 *x +4)-12 +13 = 3(...)+1

x^2 - 4 *x + 4=(x - 2)^2 binomische Formel x^2 - 2 *b *x + b^2=(x -b)^2

Scheitelpunktform ist somit f(x)= 3 *(x-2)^2 +1

Scheitelkoordinaten bei x=3 und y=C=1 mit b=- x

HINWEIS : Je nach Aufgabe muss man auch die binomische Formel

(x+b)^2=x^2+2 *b *x +b^2 anwenden

HINWEIS : Formeln für die Scheitelkoordinaten sind x= - (a1)/(2 *a2) und 

y= - (a1)^2/(4 *a2) + ao

Prüfe durch Proberechnungen !

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