Frage von Malalalalo, 26

Kurvenschar y = C*e^(x)?

Hallo, ich brauche etwas Hilfe bei einer kleinen Matheaufgabe:

Betrachten Sie die Kurvenschar y = C*e^(x) (Y = C mal e hoch x )

a) skizzieren Sie die Kurvenschar. --> Wie skizziere ich sie?

b) Bestimmen Sie die orthogonalen Trajektoren. --> Was bedeuetet das, was muss ich tun?

c) Skizzieren Sie auch diese.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand dabei helfen kann! LG

Antwort
von WeicheBirne, 8

Vorab

Die Funktion C*e^(x) ordnet jedem x-Wert einen y-Wert zu. Welcher y-Wert das ist, hängt aber auch von der Konstanten C ab.

Dem Wert x=0 ordnet die Funktion 1*e^(x) den y-Wert 1 zu. Die Funktion 2*e^(x) ordnet dem Wert x=0 dahingegen den y-Wert 2 zu. 

C könnte irgendeine Zahl sein und jeder Wert für C ergibt eine andere Funktion y = C*e^(x).

Die Kurvenschar ist die Menge aller möglichen Funktionen, die Du durch Wahl aller möglichen Werte für C erhältst.

Das kannst Du hier auch noch mal nachlesen

https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenschar


Zu a)

Hier sollst Du einige Funktionen der Kurvenschar zeichnen. Wähle also einige Werte für C und zeichne für jeden Wert die entsprechende Kurve der Funktion.

Da Du keine Einschränkung für C angegeben hast, könntest Du bei reelwertigen Funktionen jede reelle Zahl für C wählen. Du könntest also z.B. die Werte -2; -1; -0,5; 0; 0,5; 1 und 2 wählen.


Zu b)

Sicher weißt Du, daß die Kurve einer Funktion f(x)=y an jedem Punkt (x,y) eine Tangente besitzt. Die Tangente ist die Gerade, die die Kurve genau an diesem x-Wert schneidet. Die Steigung der Tangente ist gerade gleich der Ableitung der Funktion an diesem x-Wert.

Zu der Tangenten am Punkt (x,y) gibt es eine Gerade, die die Tangente am festgelegten Punkt (x,y) orthogonal schneidet. Wenn die Steigung der Tangente den Wert m hat, dann ist die Steigung der orthogonalen Geraden -1/m.

Diese orthogonale Gerade ist auch die Tangente einer Kurve. Diese zweite Kurve nennt man orthogonal zur Kurve der Funktion f(x).

Bei einer Kurvenschar von Funktionen ist es netterweise so, daß eine orthogonale Kurve orthogonal zu allen Kurven der Kurvenschar verläuft.

Da eine orthogonale Kurve nicht immer nur einer bestimmten Funktion entspricht (ein x-Wert kann mehreren y-Werten zugeordnet sein), nennt man sie besser orthogonale Trajektorie. Eine orthogonale Trajektorie kann also aus mehreren orthogonalen Funktionen zusammengesetzt sein.


Unsere Aufgabe ist hier die orthogonalen Trajektorien für die Kurvenschar y = C*e^(x) zu finden.

Wir wissen, daß die Tangente einer Funktion y = C*e^(x) am Punkt (x,y) die Steigung

dy/dx = C*e^(x)

hat. Darum hat die orthogonale Gerade die Steigung

-1 / ( C*e^(x) ) = -1 / y

Eine orthogonale Funktion g(x) = y hat darum am Punkt (x,y) die Ableitung

dy/dx = -1 / y

Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet

y^2 = -2x + k

wobei k eine Konstante ist, die bei Einsetzen von x den korrekten Wert für y^2 am Punkt  (x,y) gewährleistet.


Sicherlich hast Du bemerkt, daß die Gleichung y^2 = -2x + k zwei unterschiedlichen Funktionen entspricht, nämlich

g(x) = Wurzel(-2x + k)

wenn der y-Wert am Punkt (x,y) positiv ist und

g(x) = - Wurzel(-2x + k)

wenn der y-Wert am Punkt (x,y) negativ ist.



Für die orthogonalen Trajektorien würde ich daher einfach die Gleichung

y^2 = -2x + k    k ∈ ℝ

angeben.

Alles zu orthogonalen Trajektorien und die Herleitung der orthogonalen Trajektorien von y = C*e^(x) kannst Du auch noch einmal hier nachlesen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal\_trajectory

https://proofwiki.org/wiki/Orthogonal\_Trajectories/Exponential\_Functions



Zu c)

Wähle einfach ein paar Werte für k und zeichne die entsprechenden orthogonalen Trajektorien. Dabei mußt Du darauf achten, daß jede orthogonale Trajektorie aus einem Teil 

g(x) = Wurzel(-2x + k)

und einem Teil

g(x) = - Wurzel(-2x + k)

besteht.

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