Frage von labmanKIT, 36

Kurvenintegral ?

A) Ist das Kurvenintegral Wegunabhängig?

B) Berechnen sie den Wert dieses Integrals längs folgenden Weges: zuerst längs der Parabel y=x^2 von P1(-1,1) bis P2(1,1), dann längs der Geraden y=1 zurück von P2 nach P1.

Ich habe keine Ahnung wie ich vorgehen muss...

Antwort
von ELLo1997, 23

A) Das Kurvenintegral ist genau dann wegunabhängig, wenn der Rotor (∇ x f) der Nullvektor ist.

B) Du musst die Kurven zunächst parametrisieren. Für  y = x² wäre eine mögliche Parameterdarstellung r(t) = (t, t²). Das setzt du nun in die Funktion für x und y ein und bildest zusätzlich das Skalarprodukt über diese Funktion (nun in t !) und der Ableitung von r(t). Dann hast du eine ganz gewöhnliche reellwertige Funktion in einer Veränderlichen. Die Grenzen sind t = -1 bis 1. Für die Kurve y = 1 gehst du gleich vor. Übrigens: Wenn das Kurvenintegral wegunabhängig ist, ersparst du dir das ganze und kannst sofort sagen, dass das Kurvenintegral = 0 ist (weil geschlossene Kurve).

Lg

Antwort
von kreisfoermig, 11

Sei ƒ:(x,y)∈ℝ² ⟼ (eˣ–1)y. dies ist eine 0-Form.
Es gilt dƒ = y·eˣ dx + (eˣ–1)·dy, dies ist eine 1-Form.
Es gilt (laut des Satzes von Stokes) d²ƒ = 0. Dies ist eine 2-Form.

Sei A eine einfache zusammenhängende Fläche mit C¹-Rand, ∂A = K, d. h. K ist C¹-parameterisierbar. Dann gilt 

 ∫ y·eˣ·dx + (eˣ–1)·dy  Wegintegral über ∂A
= ∫ df Wegintegral über ∂A
= ∫ ddf Flächenint. über A
= ∫ 0 (siehe oben)
= 0

Dies beweist, dass (a) das Integral wegunabhängig ist.

Wegen (a) gilt Integral₁ + Integral₂ = 0. Darum Integral₁ = –Integral₂. Da Integral₂ offensichtlich einfacher ist zu berechnen, berechne man dies:

I2 = ∫ y·eˣ·dx + (eˣ–1)·dy  von (1;1) nach (-1;1)
entlang Gerader y=1
also dy=0
= ∫ y·eˣ·dx
= ∫ 1·eˣ·dx
= [eˣ] von (x,y)=(1;1) nach (-1;1)
= e¯¹ – e¹

Darum gilt (b) Integral₁ = e¹ – e¯¹ und Integral₂ = e¯¹ – .



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