Frage von Ducati21, 6

Kurvendiskussion, wieso benutz ich die 1 Ableitung fuer extrema und so weiter, muss wissen welche ableitung warum fuer die jeweiligen extrema WP benutzt wird?

Antwort
von Enders9, 5

Ich denke am einfachsten kann man das verstehen indem man eine Funktion und ihre ersten beiden Ableitungen zeichnet. Die Funktion sollte natürlich sowohl Extremwerte als auch Wendepunkte haben. Wenn Sie wollen, können Sie zum Zeichnen Geogebra benutzen. Eine brauchbare Funktion wäre: x^4+0.5*x^3-5.5*x^2-2*x+6

Nachdem man nun die drei Graphen in demselben Koordinatensystem hat, schauen Sie sich die Funktion selber an. Was passiert an den Extremstellen? An einem Hochpunkt: Die Funktion steigt bis zum höchsten Punkt und fällt dahinter dann wieder ab. Das heißt die Steigung ist größer Null und wird dann zu kleiner Null. Das wiederum bedeutet die Steigung muß irgendwo in diesem Bereich exakt Null sein.

Aber wo? Dazu schauen Sie sich den Graphen der ersten Ableitung in diesem Bereich an. Sie werden feststellen, daß dieser Graph links vom Hochpunkt größer als Null und rechts davon kleiner als Null ist. Wenn Sie nun vom Nullpunkt der ersten Ableitung eine Linie von der x-Achse zum Hochpunkt ziehen, werden Sie sehen, daß der Hochpunkt genau da liegt wo die erste Ableitung ihren Nulldurchgang hat.

Genau dasgleiche gilt aber auch für den Tiefpunkt. Deswegen reicht es nicht aus sich nur die erste Ableitung anzuschauen. Schauen Sie sich nun die zweite Ableitung an.

Für die obige Funktion hat diese zwei Nulldurchgänge. Der erste liegt irgendwo zwischen dem ersten Tiefpunkt und dem Hochpunkt und der zweite zwischen dem Hochpunkt und dem zweiten Tiefpunkt. Man kann also den Graphen der zweiten Ableitung in drei Bereiche einteilen. Im ersten Bereich ist der Graph größer als Null, dann kleiner als Null und am Ende wieder größer als Null.

Und zwar ist die zweite Ableitung IMMER da größer als Null wo die Funktion selber eine Linkskurve macht und wo sie einen Tiefpunkt hat. Hat die Funktion selber eine Rechtskurve und einen Hochpunkt ist die zweite Ableitung negativ.

Der Graph zeigt eindeutig, daß die zweite Ableitung an beiden Nulldurchgängen ihr Vorzeichen ändert. Deswegen muß die Funktion selber an diesen Stellen Wendepunkte haben.

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Wir betrachten jetzt mal eine andere Funktion.

h(x) = x^5/20-x^4/6-(2*x^3)/3+4*x^2

Diese Funktion hat folgende zweite Ableitung:

h''(x)= x^3 -2*x^2-4*x+8

Diese zweite Ableitung hat zwei Nullstellen. Einmal bei x = -2 und einmal bei x = +2. Betrachtet man den Graphen dieser zweiten Ableitung, dann sieht man das man bei -2 einen Nulldurchgang und bei +2 einen Berührpunkt hat.

Leiten man die zweite Ableitung nochmal ab und zeichnet die dritte Ableitung der Funktion ins selbe Koordinatensystem sieht man, daß die dritte Ableitung bei x = +2 einen Nulldurchgang hat und bei x = -2 nicht.

Das liegt daran, daß Berührpunkte mit der x-Achse IMMER Extremstellen sind!!!

Wenn Sie nun die Funktion selber zeichnen, sehen Sie in der Nähe von x = -2 einen Krümmungswechsel (Rechtskurve wird zur Linkskurve ) und bei x = +2 nicht.

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