Kurvendiskussion: Wendepunkte?

... komplette Frage anzeigen

4 Antworten

Hallo,

sieh Dir doch einmal den Wendepunkt eines Funktionsgraphen an.

Nimm an, Du hast eine Kurve, die ansteigt, aber immer flacher wird.

Was passiert mit der ersten Ableitung? Da der Graph steigt, ist diese natürlich im positiven Bereich, fällt aber, da die Steigung des Funktionsgraphen abnimmt. 

Jetzt bist Du am Wendepunkt angelangt. Die Steigung hat ihren niedrigsten Wert errreicht. Nach dem Wendepunkt steigt die Funktion wieder stärker an, die Steigung nimmt zu.

Was macht die erste Ableitung? Sie erreicht am Wendepunkt ein Minimum, um dann wieder anzusteigen.

Die erste Ableitung ist also positiv, fällt bis zum Wendepunkt der Funktion, hat genau dort ein Minimum, wo die Funktion den Wendepunkt hat und steigt dann wieder stärker an.

Was macht die zweite Ableitung, die Ableitung der Ableitung also?

Sie ist negativ, weil die erste Ableitung zunächst fallend ist. Am Wendepunkt der Funktion hat die erste Ableitung ein Minimum - ihre Steigung ist dort gleich Null. Die zweite Ableitung schneidet von unten kommend die x-Achse, hat hier also eine Nullstelle.

Die erste Ableitung steigt wieder an, die zweite Ableitung ist in den positive Bereich oberhalb der x-Achse gewechselt.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

  Machen wir das mal richtig für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel. Sonderfall kubistisches Polynom; wir gehen aus von der Normalform

  f  (  x  )  :=  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0    (  1  )

   Dann gilt für den WP

   x  (  w  )  =  -  1/3  a2    (  2  )

   Du brauchst also gar keine zweite Ableitung. Wichtig für Steckbriefaufgaben; alle kubischen Polynome singen immer wieder die selbe Meelodie. sie verlaufen Punkt symmetrisch gegen den WP. Daraus folgt für die Extrema die Mittelwertbeziehung

   ( x | y ) ( w ) = 1/2 [ ( x | y ) ( max ) + ( x | y ) ( min ) ]   ( 3 )

   Mit zwei der kritischen Punkte folgt automatisch immer schon der dritte.

   Allgemein ist ein WP definiert als Extrempunkt der ersten Ableitung bzw. der Steigfung. Damit hast du als hinreichende Bedingung: Die 2. Ableitung verschwindet; und die erste nicht verschwindende Ableitungsordnung ist ungerade.

   Ein Punkt, in dem die 2. Ableitung verschwindet, heißt Flachpunkt. Damit hat es folgende Bewandtnis; der ===> Krümmungskreis versucht, eine Funktion von 2. Ordnung anzunähern. Stimmt genau; für einen Kreis brauchst du immer drei Punkte entsprechend Funktionswert und den ersten beiden Ableitungen. In die Krümmung geht die 2. Ableitung linear ein; verschwindet die 2. Ableitung, so entartet im Flachpunkt der Krümmungskreis zu einer Tangente.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Wendepunkte sind die Punkte zwischen Steigen und Fallen. Steigen ist positiv, Fallen negativ. Also ist dazwischen Null. f'(x) ist die Steigung von f(x).

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von ruzumff
15.09.2016, 12:59

Aber warum muss dann f''(x)=0 sein? Dann müsste es ja eigentlich heißen f'(x)=0?

0
Kommentar von Schachpapa
15.09.2016, 13:08

@skjonii: Was du beschreibst, ist kein Wendepunkt sondern ein Extrempunkt. Da muss für die erste Ableitung f '(x) = 0 gelten. Wendepunkt ist nicht der Übergang zwischen rauf und runter bzw. runter und rauf, sondern zwischen Rechts- und Linkskurve.

2

An einem Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten einer Kurve. Eine Kurve ändert ihr Krümmungsverhalten genau dann, wenn die erste Ableitung ihr Wachstum ändert, also:

  • von monoton fallend nach monoton wachsend oder
  • von monoton wachsend nach monoton fallend

übergeht. Denn fällt die erste Ableitung, ist die Kurve rechtsgekrümmt - wächst die erste Ableitung, so ist sie linksgekrümmt.

Der Übergang muss in lokalen Extremalstellen der Ableitung f'(x) liegen. Nun wissen wir, dass lokale Extrema in der ersten Ableitung gleich 0 sein müssen, also [f'(x)]' = f''(x) = 0 gelten muss. So erklärt sich diese Bedingung.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung