Frage von Massimoni, 32

Kreiszahl Pi echt rational beweisen?

Hallo liebe gutefrage.net Community,

eine Aufgabe in meiner Seminararbeit beinhaltet das Vorstellen eines Beweises für die Echtrationalität der Kreiszahl Pi. Meines Wissens ist Pi aber irrational und auch eine Internetsuche ergab nichts. Ist also die Aufgabe falsch gestellt, oder kann man echtrational mit irrational gleichstellen (was eigentlich nicht sein kann)? MfG Massimoni

Antwort
von vitus64, 32

Pi ist irrational und das ist auch bewiesen.

Daher ist ein Beweis, dass Pi rational ist, unmöglich zu führen.

Kommentar von Willy1729 ,

Du kannst bestenfalls aus der Annahme, Pi sei rational, einen Widerspruch konstruieren und somit die Irrationalität dieser Zahl beweisen.

Antwort
von kreisfoermig, 16

Es gibt Beweise aus der AnaIysis aber meine lieblings sind die aus der Algebra. Man beobachte ein einziges Fakt aus der AnaIysis,
nämlich e^ιπ = –1. Dann verwendet man follgende allgemeine Ergebnisse:

Definition. Eine Zahl α∈ℂ heißt dann algebraisch, wenn es ein Polynom mit rationalen Koeffizienten p∈ℚ[X] \ {0} gibt, so dass p(α) = 0. Ansonsten heißt α transzendent.

Definition. Setze ℚ^al := {α ∈ ℂ |  α algebraisch}. (Lemma: dies bildet einen Körper.)

Satz 1 [Hermite-Lindemann].
Sei α∈ℂ. Ist e^α algebraisch, so ist α transzendent.

und noch allgemeiner

Satz 2 [Lindemann-Weierstraß].
Seien α(1),α(2),...,α(n)∈ℂ verschiedene Zahlen.
Angenommen, e^α(1), e^α(2), ..., e^α(n) seien
linear abhängig über ℚ^al dann ist mindestens eine der Zahlen
unter α(1),α(2),...,α(n) transzendent.

[Zu Beweisen davon: Nachschlagen!!]

Wir haben nun das Fakt (ja aus der komplexen AnaIysis, aber mehr AnaIysis als das brauchen wir nicht):

Fakt. e^(ιπ) = -1.

Beweis der Transzendenz (1): Mit α:=ιπ gilt
                              e^α = e^(ιπ) = –1,
welches algebraisch ist.
Laut Satz 1 muss α also transzendent sein.
Da ι algebraisch ist (Nullstelle von X²+1 ∈ ℚ[X]), muss π transzendent sein,
sonst wäre das Produkt ιπ aus zweier algebraischen Zahlen algebraisch.

Beweis der Transzendenz (2): Mit n=2, α(1):=ιπ und α(2)=0 gilt
                     1.e^α(1) + 1.e^α(2) = e^(ιπ) + 1 = –1 + 1 = 0.
Damit sind {e^α(1); e^α(2)} linear abhängig über ℚ^al.
Laut Satz 2 muss eine der Zahlen α(1), α(2) transzendent sein.
Da α(2)=0 algebraisch ist, muss also α(1) transzendent sein.
Also ist ιπ und damit wie oben argumentiert π transzendent.

Kommentar von Massimoni ,

Mein Lehrer hat in einer E-Mail bereits erwähnt, dass es irrational heißen muss und ein Fehler vorliegt, trotzdem vielen Dank für deine Mühe!

Kommentar von kreisfoermig ,

Das ist uns allen klar gewesen. Dir ist bekannt, dass transzendent ⟹ irrational, oder? Wenn man somit die Transzendenz von п beweist, hat man automatisch einen Beweis der Irrationalität.

Zu Beweisen, die nur hinsichtlich Rationalität aussagekräftig sind, kann man bestimmte Darstellungen von π durch Reihen, Produkte und Integral untersuchen. Die Ergebnisse bedürfen Kenntnisse aus der AnaIysis.

Antwort
von MissMaple42, 28

Ist ein Fehler in der Aufgabe. Wie du schon gesagt hast ist Pi irrational.

"Echt rational"  heißt dass die Zahl rational ist, aber nicht zu den ganzen Zahlen gehört. (1 und -1 sind ganze Zahlen und somit auch rational, aber eben nicht echt rational).

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