Frage von roromoloko, 44

Kreisfrequenz berechnen - harmonische Schwingung?

Ein Stein soll durch einen Tunnel, der vom Nord- zum Südpol reicht, losgelassen werden. Reibung ist zu vernachlässigen. Es gilt für die Zeit-Ort Funktion:

y(t) = R* cos(w *t)

Leiten Sie die beziehung w = ((wurzel)g/R) her.

a(t) = g

g= 9,81 m/s^2

a(t)= y''(t) = - w^2 * R * cos(w* t)

g = - w^2 * R * cos(w* t)

Das Problem ist nun, dass ich nicht weiß wie ich den Kosinus wegbekomme und das minus :/ Kann ja sonst keine Wurzel ziehen

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von TomRichter, Community-Experte für Physik, 22

> Reibung ist zu vernachlässigen.

Und was soll sonst noch an vereinfachenden Annahmen getroffen werden?

Die übliche Annahme, die gesamte Masse der Erde sei im Schwerpunkt versammelt, kann es bei dieser Aufgabe ja nicht sein. Soll angenommen werden, die Erde habe eine homogene Massenverteilung?

> Das Problem ist nun, dass ich nicht weiß

dass ich nicht weiß, welche der Gleichungen gegeben sind und welche Du mit welcher Begründung hergeleitet hast. Und auch nicht weiß, ob Du zeigen sollst, dass die Bewegung eine harmonische Schwingung darstellt, oder ob Du das voraussetzen sollst.

Ich denke, Du musst Dir in jedem Fall Gedanken machen über die Abhängigkeit g vom Ort.

Kommentar von roromoloko ,

Ja die harmonische schwingung ist eine Voraussetzung.. Geg. Ist nur y(t)= R * cos(w*t)

Kommentar von TomRichter ,

Dann mache Dich als erstes mal schlau, wie sich die Erdanziehungskraft / Fallbeschleunigung ändert, wenn Du Dich Richtung Erdmittelpunkt begibst.

Deine Frage in einem anderen Kommentar

> Also wird die Gravitationskraft zum Erdmitelpunkt immer schwächer?

zeigt, dass Du

a) Dich noch etwas in das Problem vertiefen solltest

b) Nicht wirklich nachgedacht hast. Denn es sollte Dir doch klar sein, dass die Erdanziehungskraft in Gegenrichtung wirkt, nachdem Du den Erdmittelpunkt passiert hast. Dachtest Du wirklich, die springt schlagartig von +9,81 m/s² auf -9,81 m/s² ?

Andere haben schon früher was dazu geschrieben:

https://www.gutefrage.net/frage/gravitation-im-erdmittelpunkt

https://www.gutefrage.net/frage/ist-im-inneren-der-erde-schwerelosigkeit--hae-

https://de.wikipedia.org/wiki/Gravitation#Gravitation_auf_der_Erde

Letzteres zeigt die deutlichen Abweichungen der Realität von der
angenommenen homogenen Massenverteilung - in der Realität ergibt sich daher auch keine harmonische Schwingung.

Kommentar von roromoloko ,

der andere hat mir zugestimmt.. Und außerdem ist die Aussage nicht widerlegt, denn die Gravitattionskraft wird immer schwächer, sie wird halt nur nicht null da die Erde keine homogene Kugel ist.. Auf was du mit dem Minus und Plus hinaus willst weiß ich nicht.. Das minus soll ja nur die Richtung der Gravitationskraft zeigen und die ist ja am Nord und Südpol anders

Kommentar von TomRichter ,

Ich will darauf hinaus, dass beim Übergang von plus nach minus an einer Stelle exakt der Wert Null auftreten muss.

Falls Du mit "der andere hat mir zugestimmt" die Abnahme der Schwerkraft meinst - die hatte ich nicht bezweifelt. Ich fand es nur bemerkenswert, dass Du Dir in dem Punkt noch unsicher warst, nachdem bereits mehrere Hinweise der Art "g ist nicht konstant" vorlagen.

Wenn Ihr Gravitation im Unterricht schon hattet, ist die Aufgabe auf zwei Wegen lösbar.

a) mach Dich an die Arbeit und stelle eine Gleichung auf für die Abhängigkeit g von y. Dazu musst Du was über Gravitation wissen. Und vermutlich war mein Fehler, Dich auf diesen Lösungsweg hieven zu wollen.

b) Davon ausgehend, dass laut Aufgabe die Schwingung eine harmonische sei: Erinnere Dich an die Gleichung für die Abhängigkeit der Rückstellkraft von der Auslenkung bei der harmonischen Schwingung. An welchem Punkt ist die Rückstellkraft am größten?
Setze die richtigen Werte, die an diesem Punkt gelten, in

a(t) = - w^2 * R * cos(w* t)

ein.

Kommentar von roromoloko ,

Das Ding ist ich habe gar keinen Unterricht mehr und erarbeite mir gerade 6 Jahre Physik Unterricht selber nach.. Es fällt mir daher schwer diese ganzen Aufgaben zu berechnen..

Kommentar von TomRichter ,

Ja, langsam erkenne ich Dein Problem - vermutlich nicht nur Physik nachholen, sondern auch Mathe entweder nachholen oder schon ewig nicht mehr gebraucht.

Schau' nach einem Nachhilfelehrer, der Dir einmal pro Woche eine Stunde lang das erklärt, was Du im Lauf der Woche nicht verstanden hast.

Kommentar von roromoloko ,

Ne Mathe ist nicht das Problem, hatte noch nie ein Problem mit Analysis, Statistik und Geometrie war nicht mein stärkstes Fach aber ich war nie schlecht.. Physik ist mein Problem. Wie gesagt muss halt alles selber lernen

Antwort
von SeekerofWisdom, 30

Also die Sache ist die: Du hast grade einfach a(t) was ja
zeitabhängig ist, durch eine Konstante ersetzt. Damit hättest du
Konstante = -w² * R * cos(w*t)

Ich nehme an du siehst,
dass das keine gültige Gleichung sein kann. Um die gültige Gleichung zu
bekommen musst du t = 0 setzen, dann ist a(0) = g. Der Kosinus ist dann
cos(w*0) und damit 1, er fällt also weg. Jetzt ist noch das Problem mit
dem -, aber wenn wir einfach sagen, dass a(0) = -g ist weil wir ja eine
Beschleunigung zu unserm Nullpunkt (den wir in den Erdmittelpunkt
setzen) haben, ergibt sich -g = -w² * R. Von hier an sollte es klar sein
nehm ich an. :)

Kommentar von roromoloko ,

Stimmt danke :)

Kommentar von roromoloko ,

Wieso ist die beschleunigung zum zeitpunkt t=0 g? Also wieso gerade bei t=0? Ich dachte dass die beschleunigung gleichmässig wäre, was offensichtlich falsch ist

Kommentar von SeekerofWisdom ,

Die Beschleunigung kommt ja zustande durch Gravitation, also dadurch, dass du von der Materie der Erde angezogen wirst. Wenn du im Mittelpunkt der Erde bist, wirst du ja von der Materie über dir (also Richtung Nordpol) nach oben gezogen, von der links von dir nach links und so weiter, sodass genau im Mittelpunkt der Erde Schwerelosigkeit herrscht. Wenn du also vom Nordpol zum Mittelpunkt gehst, befindet sich immer mehr Materie über dir, so dass die Gravitation gleichmäßig schwächer wird. ;)

Edit: Bei t=0 gehe ich davon aus, dass wir uns oben am Nordpol befinden und sozusagen die ganze Erde unter uns ist ;)

Kommentar von roromoloko ,

Also wird die Gravitationskraft zum Erdmitelpunkt immer schwächer?

Kommentar von SeekerofWisdom ,

Ganz genau

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Physik, 23

Wie kommst du auf a(t) = g?

Kein Wunder, wenn du aus einer gleichförmig beschleunigten Bewegung keine Kreisfrequenz berechnen kannst.

Wie ist das Gravitationspotential im Innern einer Hohlkugel? Wie außerhalb einer Kugel?

An welcher Stelle der Bahn und/oder an welchem Zeitpunkt der Periode ist a = g? bzw. a = -g? (Beachte die Richtung von a und von g!)

Kommentar von roromoloko ,

Ich dachte dass wenn ein stein losgelassen wird dass die beschleunigung die erdbschleunigung sein müsste.. Sie müsste zudem negativ sein da sie nach unten zeigt.. Das problem mit dem cosinus ist aber dennoch nicht gelöst

Kommentar von PWolff ,

Im Moment des Loslassens ist die Beschleunigung natürlich die (negative) Erdbeschleunigung.

Aber wie ist sie, wenn der Stein am anderen Ende des Tunnels ankommt?

Und wie ist sie unterwegs?

Kommentar von roromoloko ,

Also ich weiß ehrlich gesagt nicht wieso hier eine harmonische Schwingung vorhanden ist.. Ich würde einfach an einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung denken, wieso sollte denn der Stein abgelenkt werden, wenn er nicht mal einen Faden montiert ist

Kommentar von PWolff ,

[nebenbemerkung]

also nicht mal den Film "Total Recall" ("Die totale Erinnerung") hast du gesehen ... darin kommt ein Tunnel zwischen Großbritannien und Australien vor, und man reist in Kapseln hindurch, in denen - trotz freien Falls - normale Gravitation herrscht, die zudem noch im Erdzentrum ganz plötzlich ihre Richtung ändert (aber ihre Stärke - die gleich der an der Oberfläche ist - beibehält)

[/nebenbemerkung]

Kommentar von PWolff ,

Diese Aufgabe ist eine der Standardaufgaben, die man vorgesetzt kriegt.

Leider bin ich nicht mehr ganz sicher, wie es bei uns war, aber ich denke, bei uns sah es so aus:

- wir wussten, wie die Gravitationskraft im Innern einer isotropen Hohlkugel in Abhängigkeit vom Ort ist
- wir wussten, wie die Gravitationskraft außerhalb einer isotropen Kugel in Abhängigkeit vom Ort ist, insbesondere an ihrer Oberfläche
- wir hatten die Zusatzannahme, dass die Erde homogen sei
- Bestandteil der Aufgabe war: "Zeigen Sie, dass die Bewegung des Massepunktes/Steins/... eine harmonische Schwingung ist"
- der Rest wie bei dir

Kommentar von roromoloko ,

Ja aber der Tunnel von Australien nach England verläuft doch schräg..:/ Der vom Nord zum Südpol ist doch einfach ein gerader Tunnel nach unten..

Ne diese Angaben stehen nirgends.. Es ist ganz am Anfang meines Buches über Schwingungen.. Sind Grundlagen

Kommentar von PWolff ,

Ganz am Anfang des Buches?!

Ist das vielleicht ein Buch mit Übungsaufgaben zum Wiederholen des Stoffes vor einer Zwischenprüfung?

Wenn nicht - wie weltfremd war denn der Fachidiot, der sich so was ausgedacht hat?

Kommentar von roromoloko ,

Ne haha, also ist ein Oberstufenbuch für physik.. Das Thema Schwingungen kommt nach den Kapiteln Mechanik und E-Lehre.. Die Themen, die vor dieser Aufgabe heißen:

1.Phänomen Schwingung --> da wird die Grundgleichung gezeigt

2. Mechanische harmonische Schwingung --> Die Ableitungen von y(t) werden erläutert

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