Frage von adenosi, 44

Kovergenz einer Reihe überprüfen?

Wie kann ich die folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen √(n + 1) - √(n)? Als Hinweis ist gegeben dass die Bildungsfunktion mit √(n + 1) + √(n) erweitert werden soll. Aber wie kann man multiplikationen mit der Wurzel √(n + 1) ausführen?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von lks72, 24

Nach dem Erweitern hast du im Nenner den Term, mit dem du erweiterst, im Zähler dann nach Binomi 3
n+1 - n = 1, insgesamt also
1 / (√(n+1) + √n)
und dies ist auf jeden Fall eine Nullfolge.

Antwort
von kepfIe, 24

Ich versteh deine Frage nich. Weißt du nicht wie man zwei Wurzeln multipliziert?  

Ansonsten, bist du dir sicher dass der Hinweis so richtig ist? Normalerweise erweitert man mit "1". Mit dem Hinweis jetzt kommt dann 1 raus, was aber nicht der Grenzwert ist.

Kommentar von adenosi ,

Ja der Hinweis und die Frage stimmen.

Antwort
von poseidon42, 9

Du hast die Folge:

a(n) =√(n + 1) - √(n)

Durch Multiplikation mit ( √(n + 1) +  √(n) )/( √(n + 1) +  √(n) )                             

folgt nach der 3. Binomischen Formel  [  (a+b)(a-b) = a² - b²  ]:

= [ (√(n + 1))²  - (√(n))² ]/(√(n + 1) + √(n))

= ( n+1 -n)/(√(n + 1) + √(n) )

= 1/(√(n + 1) + √(n))

Jetzt gilt:

1/(√(n + 1) + √(n))  >=  1/((√(n + n) + √(n))

= 1/(√(2n) + √(n))  >= 1/(√(2n²) + √(n²)) 

= 1/((√(2)*+1)n) >= 1/(3*n)

Nun müsstest du wissen, dass die Harmonische Reihe, dass heißt die Reihe zur Folge b(n) = 1/n   divergiert. Somit folgt aus dem Minorantenkriterium die Divergenz der Reihe.

Kommentar von poseidon42 ,

Hier ist es auch nochmal von Wolfram-Alpha bestätigt:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum(%E2%88%9A(n+%2B+1)+-+%E2%88%9A(n))+from+n%3D0

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