Konvergenz von Folgen beweisen : Beschränktheit + Monotonie oder Grenzwertausrechnen --> |a(n)-a|<epsilon.?

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2 Antworten

errate/berechne den grenzwert von a(n):=n * (wurzel(n)-wurzel(n-1)) und b(n):=b(n-1)/2+2/b(n-1).

das sollte bei b(n) problemlos klappen. warum? weil du eine GLEICHUNG aufstellen kannst. b=b/2+2/b. du kannst aber nicht ausrechnen, ob |b(n)-b|<epsilon ist. warum? weil du keine werte für b(n) gegeben hast!! die sind ja REKURSIV definiert. du kannst die nur ausrechnen, wenn du die definitionen ineinander einsetzt, bis du beim startwert abgekommen bist... du kannst dir also vorstellen, dass dein term ziemlich lang wird, wenn du zB nur b(1000) ausrechnen willst. aber du willst ja allgemein b(n)-b für beliebig großes n ausrechnen, da die folge ja erst "im unendlichen" konvergiert. du musst also die frage nach der konvergenz anders beantworten.

bemerkung: |b(n)-b| zeigt GLEICHZEITIG konvergenz und grenzwert. um dies zu vereinfachen, weil man es einfach nicht schafft dies gleichzeitig zu bestimmen, teilt man auf in die eigenschaft "konvergenz" und das bestimmen des eigentlichen "grenzwertes". zwei schritte also. dies ist das übliche vorgehen bei rekursiv definierten folgen. dabei kannst du aber den satz der monotonen konvergenz auch durch einen beliebigen anderen satz für konvergenz ersetzen! z.B. durch den banachschen fixpunktsatz o.Ä.

bei a(n) kannst du auch den grenzwert ausrechnen. aber wie? naja... durch lösen des problems |a(n)-a|<epsilon. du hast konkrete zahlen gegeben. du kannst also ganz konkret ausrechnen, was die folge tut. allerdings ist schwer zu erraten, was der grenzwert ist! n geht gegen unendlich aber der geklammerte ausdruck geht gegen 0. rechnen wir also aus:

(3. binomische formel -> trick)

a(n)=n / (wurzel(n)+wurzel(n-1)). jetzt sieht man, dass im zähler etwas stärker wächst als im nenner, also wird die folge wohl divergieren. den grenzwert habe ich aber nicht erraten. auch im falle von konvergenz hätte ich den grenzwert wohl nicht erraten. was ich in wirklichkeit getan habe ist "ABSCHÄTZEN".

mathematischer: a(n) >= n/(2 * wurzel(n)) = wurzel(n)/2.

nun ist bereits bekannt, da es eine einfache folge ist, dass diese divergiert.

 bei aufgaben mit konkreten zahlen schätzt man eigentlich die folge ab, sodass eine andere folge rauskommt, die man bereits kennt. die richtung der abschätzung geht dabei aus unserem "mathematischem gefühl" hervor.

das ist das standardvorgehen hierbei!

solltest du aus irgendeinem grund trotzdem bei so einer aufgabe den GRENZWERT GERATEN haben, so bilde einfach a(n)-a und zeige, dass dies eine nullfolge ist. (was dasselbe ist wie |a(n)-a|<epsilon zu verwenden)

das ist der standardweg. immer etwas abschätzen, damit man zeigen kann, dass es gegen 0 geht.

fazit: rekursiv definierte folgen in 2 schritten behandeln, weil man es anders einfach nicht kann! konkret gegebene folgen im prinzip abschätzen gegen etwas, was man bereits kennt. (einfache beispiele aus den büchern/der vorlesung.) dabei rät man in der regel NICHT den grenzwert. wie sollte man den auch herausbekommen? man kann KEINE GLEICHUNG für ihn aufstellen!!!

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Gibt´s keine Regel für. Das was geht wird genommen.

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