Frage von Kiyota, 37

Konvergenz einer Folge, Problem?

Hallo,

sitze gerade an einer Aufgabe zur Konvergenz.

C := n^3 / 4^n

Wir sollen den Grenzwert bestimmen und dann beweisen, dass die Folge konvergent ist. Nun dürfen wir keine Dinge schreiben, wie Nenner wächst schneller als Zähler.". Und wir müssen das ganze auch fein ausführlich machen. <.<

Nun meine Frage: Muss ich das Quotientenkriterium beweisen oder wie geht man das an?

Wäre toll, wenn man mir da auf die Sprünge helfen würde. Und ist es eine Nullfolge? Also konvergiert die Folge gegen 0?

LG

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 17

Ist eine Folge konvergent, dann bedeutet das, dass die Folgeglieder immer kleiner werden müssen, d. h. es muss (n+1)³/4^(n+1) < n³/4^n gelten.

(n+1)³/4^(n+1) < n³/4^n      |*4^(n+1)
(n+1)³ < 4n³                        |Klammer auflösen
n³+3n²+3n+1 < 4n³             |n³ ausklammern
n³(1+3/n+3/n²+1/n³ < 4n³    |:n³
1+3/n+3/n²+1/n³ < 4

Für ausreichend große n ist diese Bedingung erfüllt, also vor allem für n gegen unendlich.
(das Wissen, dass der Bruch a/n für n->unendlich und konstante a gegen Null läuft, ist hoffentlich erlaubt...)

Eine andere Möglichkeit wäre der Satz von l'Hospital: Ergibt der Grenzwert sowas wie 0/0 oder unendlich/unendlich, dann bildest Du die Ableitung von Zähler und Nenner, bis was "lösbares" rauskommt.
In diesem Fall wirst Du nach dem dritten Ableiten im Zähler einen kontanten Wert stehen haben...

Kommentar von Kiyota ,

Soll das ein 4er Bruch sein oder wie genau soll das aufgeschrieben werden? Dem konnte ich nicht so ganz folgen.

Und danke.

Kommentar von Kiyota ,

Aufgespalten macht es mehr sinn xD War von dem Format verwirrt 

Kommentar von Rhenane ,

Was meinst Du mit 4er Bruch?

Antwort
von gilgamesch4711, 4

 Setze

  4  ^  ( - x )  =  exp  [  -  2  x  ln  (  2  )  ]     (  2.1  )

   Ich seh grad; du kannst auch ein verallgemeinertes Prinzip benutzen, das aber in letzter Instanz ( induktiv ) auch wieder auf die Krankenhausregel zurück geht. x ³ ist doch nix weiter als ein Polynom.

  " Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "

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