Wenn man im Europäischen Ausland ein Konto eröffnen möchte, auf was muss man dabei achten? Muss man das dem Finanzamt direkt melden (oder ist das im Steuerbescheid mit drin), wie geht das vor sich? Ich möchte mich nicht irgendeiner Tat schuldig machen, ohne es zu wissen.

Du mußt die Kontoeröffnung nicht melden, aber wenn Du (zusammen mit Deinen inländischen Zinseinkünften) die Freibeträge überschreitest, mußt Du dies grundsätzlich angeben.
Es gibt aber in manchen EU-Ländern auch die Möglichkeit, Dich der dortigen Abgeltungssteuer zu unterwerfen und so legal die Steuerpflicht im Heimatland zu vermeiden.
Das kann dann von Vorteil sein, wenn Dein Steuersatz über 25% liegt. - Oder ganz einfach, weil Du ein Bankgeheimnis vorziehst, das es in Deutschland in dieser Form nicht mehr gibt.
Ich spreche hier von LEGALEN Möglichkeiten. Es gibt auch Leute, die ihr LEGALES Geld LEGAL anlegen wollen, aber aus grundsätzlichen Erwägungen nicht wollen, daß sie AUSSPIONIERT werden.
hole dir genaue informationen über die bank selbst, bei der wirtschaftskammer ( müssen registriert sein) oder schau einfach im netz übers thema "Europäischer geldverkehr" an.
Ps. verfolge auch berichte über unternehmen. wie Telebörse, Zeitungen oder Web. Schau dir an welche Projekte sie verfolgen, wieviel Kapital sie haben und wie im Fall des Falles dein erspartes gegen Übernahme oder Konkurs gesichert ist.
Nicht die Kontoeröffnung ist illegal, sondern - wie bereits richtig beschrieben - das Verschweigen von Zinseinkünften oder Kapitalerträgen. So kannst Du z.B. auf http://www.geldanlage-im-ausland.de/ ohne Probleme ein Schweizer Konto samt Depot von Deutschland aus eröffnen, solltest aber eben alle hierzulande steuerpflichtigen Erträge angeben, es sei denn, diese sind nach den Gesetzen des jeweiligen Landes oder bestehenden Doppelbesteuerungsabkommen bereits dort versteuert.

Nehme auf jeden Fall Deinen Personalausweis mit.