Frage von Donaldi, 53

Konstruiere ein Parallelogramm e, f und alpha bekannt, mit Zirkel?

Moin, Moin!

Ich scheitere gerade an folgender Aufgabenstellung und Lösung: Konstruiere ein Parallelogramm aus e = 6,8 cm; f = 4,8 cm; α = 65°

So ganz ohne Seiten... 30 Jahre her, das ich so etwas in der Schule hatte...

Nun denn: Wenn ich mir die Lösung ansehe, dann verstehe ich sie nicht. Irgendwie erscheint mir M mit 25° willkürlich angesetzt (ist es natürlich nicht).

  • Trage in B an BD und in D an DB einen Winkel mit dem Maß 25° ansteht da in der Lösung, doch warum 25° ?

Wenn ich mir das Lösungsbild ansehe, dann weiß ich dass α und γ jeweils 65° haben. Wie groß aber α zu a und α zu d sind, weiß ich nicht. Es ist sicherlich auch kein Zufall, dass α und γ 130° ergeben und sich praktischerweise die 50° durch 2 teilen lässt, um auf die 25° zu kommen. Doch soweit ich mich - anscheinend falsch - erinnere, ist β = δ = 180° - α. Das wären dann 115°. Irgendetwas rechnet sich da irgendiw nicht :(

In der Lösung steht (siehe auch das BIld):

  • Zeichne die Strecke BD mit f = 4,8 cm
  • Trage in B an BD einen Winkel mit dem Maß 25° an
  • Trage in D an DB einen Winkel mit dem Maß 25° an
  • Nenne den Schnittpunkt der freien Schenkel M
  • Zeichne einen Kreis um M durch B.
  • M' ist Mittelpunkt der Strecke BD.
  • Zeichne einen Kreis um M' mit dem Radius e/2=3,4 cm.
  • Nenne den Schnittpunkt der Kreise A.
  • Zeichne die Strecken AB und AD.
  • Zeichne die Parallele zu AB durch D.
  • Zeichne die Parallele zu AD durch B.
  • Nenne der Schnittpunkt der Parallelen C.
  • ABCD ist das gesuchte Parallelogramm.
Antwort
von Schachpapa, 25

Wo gräbt man denn solche Aufgaben aus?

Ich habe das mal mit GeoGebra nachgebastelt und die Schritte in anderer Reihenfolge ausgeführt.

Ich zeichne zunächst die Strecke BD mit 4,8 cm und schlage um den Mittelpunkt M' dieser Strecke einen Kreis mit 3,4 cm. Dann liegen die beiden Ecken A und C auf diesem Kreis jeweils gegenüber und ich erhalte stets Parallelogramme mit der gewünschten Diagonalenlänge. Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig, deshalb klappt das.

Ich brauche jetzt den Punkt A auf dem Kreis, der mit den Punkten B und D den gewünschten Winkel 65 Grad bildet. Das biegt man über den Satz vom Umfangs- und Mittelpunktswinkel hin. Man konstruiert einen Kreis so, dass der Winkel zwischen Mittelpunkt M und den Punkten B und D 130° ist. Dann hat jeder Umfangswinkel auf diesem Kreis die gewünschten 65°. Mittelpunkt und B und D bilden ein gleichschenkliges Dreieck mit Schenkelwinkel 25°, denn 180° minus 2 mal 25° ist gerade 130°.

Der gesuchte Punkt A ist der (bzw ein) Schnittpunkt der beiden Kreise. Der größere Kreis sorgt für die richtige Diagonalenlänge, der kleiner für den richtigen Winkel. D liegt ihm diametral gegenüber.

In deiner Konstruktionsvorschrift wird erst der Kreis für den Winkel und dann der für die Länge konstruiert.

Schöne Aufgabe. Aber nix für die Schule. Wofür brauchst du das?

Kommentar von Donaldi ,

Das war Zufall, meine Tochter suchte Übungsaufgaben für die Schule und sind wir über diese Seite gestolpert:

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Geometrie/Block2/Aufgaben.htm

Da ich früher sehr gut in Mathe war, hat mich die Aufgabe gereizt. Das mache ich ab und zu, ist für mich wie rätselraten.

Kommentar von Schachpapa ,

Matherätsel gibt's auch hier: http://projecteuler.net Geht aber oft weit über Schulstoff hinaus.

PS: Der Umfangs/Innenwinkeltrick ist dort in der Lösung beschrieben.

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