Kompositionen LinA?

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4 Antworten

Hallo,

Zuerst zur zweiten Frage
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Nur Lq ᴑ Lp ist möglich, aber nicht Lp ᴑ Lq, weil

Lp Lq Lq ?
ℝ³ → ℝ² → ℝ⁴, aber ℝ² → ℝ⁴ → ℝ⁴.

Lq ᴑ Lp ist wohldefiniert, weil das Bild von Lp
ℝ² ist, von wo aus Lq startet.

Das Bild von Lq besteht aus Vektoren des ℝ⁴,
Lp startet aber im ℝ², kann also keine Vektoren
des ℝ⁴ abbilden.

Bzgl. der kanonischen Basen des ℝ², ℝ³, ℝ⁴
werden die linearen Abbildungen Lp und Lq
durch Matrizen dargestellt.

Lp wird durch die Matrix (1 0 3) ∈ ℝ²
dargestellt, (0 2 0)

(0 1)
Lq wird durch die Matrix (2 0)
dargestellt. (0 3)
(1 1)

(a₁) Lp (1 0 3)(a₁) = (a₁+3a₃) = (b₁)
ℝ³∋(a₂) --> (0 2 0)(a₂) ( 2a₁ ) (b₂)
(a₃) (a₃)

(0 1)(b₁) = ( b₂ )
ℝ²∋(b₁) Lq (2 0)(b₂) ( 2b₁ ) ∈ ℝ⁴
(b₂) --> (0 3) ( 3b₂ )
(1 1) ( b₁+b₂)

Gruß

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Kommentar von eddiefox
21.11.2016, 15:03
Ein Schreibfehler oben:

Lp wird durch die Matrix (1 0 3)
dargestellt, (0 2 0)

das "∈ ℝ²" rechts daneben bitte wegradieren.
0

Zunächst solltest du dich folgendes fragen: P ist eine 2x3-Matrix. Diese soll eine Abbildung beschreiben, gegeben durch Lp(v) = P * v. Aber eine Abbildung von wo nach wo?

In  welchem Raum muss ein Vektor v liegen, damit man dieses Produkt P * v berechnen kann? 

Die Antwort nehme ich dir ab: Er sollte 3 Komponenten haben, also im K^3 liegen. Dann hat das Ergebnis 2 Komponenten, also ist Lp eine Abbildung K^3 -> K^2

(Allgemein: ist M eine (m x n)-Matrix über dem Körper K, dann beschreibt sie eine lineare Abbildung K^n -> K^m).

Analog ist Lq : K^2 -> K^4. Damit kannst du leicht begründen, warum nur eine der beiden Kompositionen möglich ist.

Nun fragst du dich, wie Lp(x,y,z) überhaupt aussieht [streng genommen ist (x,y,z) hier als Spaltenvektor aufzufassen). Naja, dafür musst du es ja nur explizit ausrechnen: Was ist P * (x,y,z)?

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Hey,

mit welchem Vektor kannst du eine  2x3 Matrix multiplizieren? D.h. wie viele Zeilen muss der Vektor haben? Wie viele Zeilen hat das Ergebnis der Matrix * Vektor Multiplikation? Wenn du das geklärt hast, kannst du dir sehr einfach aufschreiben, wie die Abbildungen aussehen. Die Anzahl der Zeilen auf der linken Seite vom "=" entspricht der Potenz auf der linken Seite vom "->". Am ersten Beispiel gezeigt:

P (2x3)-Matrix, also P*v = w; wobei v 3-Zeilen und w 2-Zeilen hat.
=> L_p: R³ -> R². 

Analog für L_q: R² -> R⁴.

Nun willst du in der zweiten Fragestellung die Komposition betrachten. Dabei muss der Definitionsbereich der einen Abbildung dem Wertebereich der anderen entsprechen. Sonst klappt das nicht ;)

Also: L_p ° L_q = (R² -> R⁴) "->" R². Der Pfeil hinter der Klammer ist nicht definiert, da der Definitionsbereich von L_p gerade der R³ war.  Aber

L_q ° L_p = (R³ -> R²) -> R⁴ ist definiert. 

Kurze Beschreibung: Wenn du L_p ° L_q betrachtest, bildest du erst durch L_q ab und dann das entstehende Bild durch L_p. Das Bild von L_q ist ein Element von R⁴. L_p benötigt aber ein Element aus dem R³. 

Vielleicht hilft dir das :)

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