Frage von Zoetrope1234, 127

Komplizierte Mathe-Optimierung - wer kann helfen?

Hallo, ich habe hier eine nicht ganz einfache Optimierungsaufgabe.

Bisher konnte ich leider keinen Ansatz finden.

Der linke term soll grösser sein als der Rechte (>>). 

Wobei gefragt ist für welches x und b die Differenz zwischen beiden grösstmöglich ist. B soll dabei kleiner oder gleich 100 sein.

Es wäre schön wenn sich ein paar Ansätze finden ließen.

MfG

Antwort
von rolle216, 44

Dein letzter Kommentar zu meiner ersten Antwort hat mich stutzig gemacht und ich habe meine Rechnung noch einmal kontrolliert: Da war ein dummer Fehler drin. Habe die korrigierte Version als neues Bild hochgeladen (musste dafür einen neuen Beitrag machen, weil man keine Bilder in einen Kommentar einfügen kann).

Im Bild ist das Falsche durchgestrichen, unten steht in rot die neue Formel. Dadurch ändert sich alles: Die Differenz ist immer negativ (und streng monoton fallend) für positive x. Nur für negative x ist sie positiv. Das heißt b muss möglichst groß sein und gleichzeitig x "so negativ wie möglich", um die größtmögliche positive Differenz zu erhalten. Für positive x ist die Differenz negativ und somit gilt die Ursprungsbeziehung zwischen linker und rechter Seite nicht mehr.

Jetzt habe ich für b=100 und x=100 übrigens auch -1,28 Millionen raus.

Kommentar von ralphdieter ,

In meiner Rechnung war auch der Wurm drin. Aber inzwischen liefern alle drei Rechenwege dasselbe Ergebnis. Das ist ein guter Zeitpunkt, um aufzuhören :-)

Kommentar von rolle216 ,


Das ist ein guter Zeitpunkt, um aufzuhören :-)

Sehe ich auch so.

Mich würde allerdings noch interessieren, welchen Vorgang diese Formel beschreiben soll.

Kommentar von Zoetrope1234 ,

Danke nochmal euch beiden!

Mein Problem bei der Lösung war, dass ich nicht wusste wie ich die Summen anders darstellen kann, jetzt hab ich mir mal die geo. endlichen und unendlichen reihen angeschaut und alles wird klar :-)

Die Formel ist Teil meiner Wahrscheinlichkeitsstrategie, ich hab sie "entwickelt" um schneller Aussagen machen zu können.

Wenn ihr mehr wissen möchtet, gerne aber nicht hier wo jeder es lesen kann. Es handelt sich um persönliche "Ergüsse", die ich nicht überall lautstark verkünden möchte. Nur so viel: Es geht um Spieltheorie.

Ich habe noch zig weitere Formeln hier die nur darauf warten ausgewertet zu werden ^^.

Antwort
von ralphdieter, 62

Das sieht ja gruselig aus! Zum Optimieren schreibt man gewöhnlich die Differenz hin und sagt, ob diese minimiert oder maximiert werden soll. Die Ungleichung taugt höchstens als Restriktion (wie B≤100).

  • x kann man rauswerfen (Fallunterscheidung x>/=/<0 nicht vergessen). Dann bleibt nur noch b.
  • Die erste Summe kannst Du in zwei Hälften zerlegen: von 0 bis (b-1)/2, und für den Rest bis b-1. Damit schrumpelt alles zusammen.
  • Σₖ₌₀…ₙ₋₁ 1.15^k = (1.15^n - 1) / 0.15

Nach diesen Vereinfachungen wird nicht mehr viel übrig bleiben. Wahrscheinlich sieht man das Optimum danach sofort...

Kommentar von Zoetrope1234 ,

Danke für die Hilfe!

Ja umschreiben nach 

Max!=13x.... - Die Summen

x und b sind element aus den natürlichen zahlen, wobei x kleiner oder gleich 1000 sein soll.

Kommentar von ralphdieter ,

Ich hab's mal versucht (ohne Gewähr!):

Für b=2n (gerade), u=1.15, v=14/15, w=(13·0.15-1)/1.15 ist (beachte 6.666...=1/0.15):

∆ = ( RHS - LHS ) / x
   = [ u²ⁿ · v²ⁿ ] + [ uⁿ / u · (1 - v²ⁿ) ] - [ uⁿ / u · 13·0.15 · (1 - v²ⁿ) ]
   = ( (uv²)ⁿ - w ) · ( uⁿ + w ) + w²

In Zahlen:

  = ( 1.0018ⁿ - 0.826 ) · ( 1.15ⁿ + 0.826 ) + 0.6824

Graphisch:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+++%28+%281.15%C2%B714%C2%B2%2F15%C2%B2...^t+%2D+0.95%2F1.15+%29%C2%B7%28+1.15^t++%2B+0.95%2F1.15+%29+%2B+0.95%C2%B2%2F1.15%C2%B2%2C++t%3D25+to+50

Für n≥0 sind beide Klammern positiv und monoton steigend. Deine Ungleichung ist also nur für x<0 erfüllt. ∆ wird dann minimal, wenn n maximal ist. Für b=100, also n=50 erhalte ich etwa ∆ = 290.

Für b=2n-1 (ungerade) ergibt sich analog:

∆ = ( uⁿ⁻¹v²ⁿ⁻¹ - w ) · ( uⁿ + uw ) + uw²

In Zahlen:

  = ( 1.0018ⁿ/1.073 - 0.826 ) · ( 1.15ⁿ + 0.95 ) + 0.785

Graphisch:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+++%28+1.15^%28t-1%29%C2%B7%2814%2F15%29^%282%C2%B7t-1%29+%2D+0.95%2F1.15+%29%C2%B7%28+1.15^t++%2B+0.95+%29+%2B+0.95%C2%B2%2F1.15%2C++t%3D25+to+50

Die Funktion sieht fast gleich aus, aber für b=99, also n=50 erhalte ich etwa ∆ = 210. Hier fehlt eben der "halbe" Summand aus dem letzten Term.

Kommentar von ralphdieter ,

Die URLs sind wohl etwas zu lang  für GF. Hier die Formeln, die man auf http://www.wolframalpha.com eintippen kann:

plot ( (1.15·14²/15²)^t - 0.95/1.15 )·( 1.15^t + 0.95/1.15 ) + 0.95²/1.15², t=25 to 50

plot ( 1.15^(t-1)·(14/15)^(2·t-1) - 0.95/1.15 )·( 1.15^t + 0.95 ) + 0.95²/1.15, t=25 to 50

Kommentar von ralphdieter ,

ERRATA:

  • Rechenfehler: Ich habe anfangs 6.666 ausgeklammert und das später mit dem Faktor 1/0.15 (von den geometrischen Reihen) gekürzt. Das ist natürlich Quatsch. Tatsächlich fehlt bei mir in ∆ der Faktor 6.66/0.15 = 44.44... Für b=100 ergibt sich nun ca. ∆ = 12890.
  • Schreibfehler: ∆·x wird dann minimal, wenn n maximal ist.
Antwort
von FataMorgana2010, 76

Hier können dir bestimmt viele helfen. Aber wobei genau?

Antwort
von UlrichNagel, 77

Bräuchten wir erst mal die Aufgabe!

Antwort
von rolle216, 53

Siehe Bild!

Kommentar von Zoetrope1234 ,

Vielen dank.

Das sieht gut aus, das hatte ich mir schon fast gedacht.

X soll kleiner gleich 1000 sein und b und x element der natürlichen zahlen.

Wäre dies immer noch für b=100 und x=1000 maximal und im positiven?

Kommentar von rolle216 ,

Ja. Je höher x, desto größer die Differenz. Das gleiche gilt übrigens auch für b (gerade nochmal getestet)

Kommentar von Zoetrope1234 ,

Ok danke nochmal!

Für Werte von b<60 und x <= 20 wäre hier noch eine positive Differenz erwartbar?

Danke für die Mühe

Dieses Program Mathlab scheint wirksam zu sein, ist es frei erhältlich?

Kommentar von rolle216 ,

Für positive Werte von b und x scheint die Differenz immer positiv zu sein, sofern ich alles richtig eingegeben habe.

MatLab ist leider nicht frei erhältlich. Kostet als Vollversion normalerweise mehrere tausend Euro und ich habe es nur günstiger (unter 100 Euro) erhalten, da ich Student bin.

Kommentar von Zoetrope1234 ,

Ok schade drum!

Nehmen wir an ich setze b=100 und x=100, dann bekomme ich ein Minus von ungefähr 1,28 Millionen, habe ich etwas falsch gemacht?

Kommentar von rolle216 ,

Habe einen Fehler gemacht - siehe neue Antwort.

Kommentar von ralphdieter ,

Ups, wo ist in der letzten Umformung der negative Nenner (1-𝛾) hin?

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