Frage von schimmelmund, 81

Komplexe Zahlen, wie komme ich auf den von mir markiertem Bereich der Rechnung?

Wie komme ich auf die in der Klammer befindliche Gleichung mit cos, sin ?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Geograph, 22

(√2)^8 = 2^4

e^(i ∙ 24/4 ∙ π)  = e^(i ∙6π) = e^(i ∙ 0) = cos(0) + i ∙ sin(0)  = 1

(√5)^6 = 5^3

e^(-i ∙ π) = cos(-π) + i ∙ sin(-π) = cos(-π)



Kommentar von schimmelmund ,

Magst auch mal erklären was du da gemacht hast? Weshalb wird dein 6Pi zu 0 ? Woher kommen deine 2 Cos/sin Gleichungen...?

Kommentar von Geograph ,

Die Periode vom sin/cos ist 2π.
z.B.: cos(6π) = cos(4π) = cos(2π) = cos(0) = 1

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https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Polarform
Polarform komplexer Zahlen:
e^(iφ) = cos(φ) + i ∙ sin(φ)

e^(-iφ) = cos(-φ) + i ∙ sin(-φ) = cos(φ) - i ∙ sin(φ)
weil cos(-φ)  = cos(φ) und sin(-φ) = -sin(φ)

Antwort
von kepfIe, 43

Das is seltsam umständlich gerechnet. Es gilt e^(ix) = cos(x) + i * sin(x), in dem Fall ist x = -pi, und es ist e^(i * -pi) = cos(-pi) + i * sin(-pi), und da sin(pi) = sin(-pi) = 0 gilt, kann man auch cos(-pi) + i * sin(pi) schreiben.  

Einfacher kann man aber auch einfach die beiden Exponentialteile umformen zu e^(i * (24/4) * pi) = e^(i * 6 * pi) = (e^(i * pi))^6 = (-1)^6 = 1 und (e^(-1 * i * (1/6) * pi))^6 = e^(-1 * i * pi) = (e^(i * pi))^(-1) = (-1)^(-1) = 1/(-1) = -1.

Kommentar von schimmelmund ,

Wieso -Pi ? Mein erstes Pi ist 6Pi und mein zweites ist -Pi.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Physik, 23

Gar nicht.

( Schon in der Zeile darüber müsste es e^(-i π) statt e^(-1 π) heißen )

Es müsste cos(-π) + i sin(-π) heißen.

Grund: Euler-Identität.

Antwort
von iokii, 36

sin(pi)=sin(-pi) wenn ich mich nicht irre.

Kommentar von schimmelmund ,

und inwiefern soll das jetzt helfen?

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