Frage von Peterfragtnach, 25

Komplexe Zahl umrechnen, Winkelproblem?

Hallo,

Ich wollte mal einige komplexe Zahlen von der karthesischen Form in die Eulerform umwandeln.

Als einfaches Beispiel:

-1+i

Ich teile das in zwei Schritte. Faktor vor dem e und zweitens den Winkel. Der Faktor ist einfach: (1²+1²)^(1/2)=2^(1/2) (sorry, weiß nicht, wie man mathematische Formeln wie in Latex hier im Forum posten kann. Aber man erkennt es hoffentlich?)

Das Problem habe ich aber be dem Winkel. Ich komme auf:

arctan (-1)= -45°

Nun denke ich, dass -45° eigentlich 360-45= 315° sein müssten. In diesem Fall sind es "7/4pi"

Mein Ergebnis wäre vorerst: 2^(1/2)e^(i7/4*pi)

Man erkennt in der karthesischen Darstellung jedoch, dass der Winkel in den zweiten Quadranten reichen muss. Eigentlich 180-45=135°. Das entspricht "3/4pi". Ist auch richtig. Aber kann man das "nur durch rechnen" rausfinden, oder muss man erst sehen, in welchem Quadranten das Ergebnis ist? Und entsprechend von 180 oder 360 aus denken?

Danke und liebe Grüße!

Antwort
von Australia23, 10

Hallo, ich würde dir raten, den zweiten Schritt etwas anders auszuführen. Uns wurde damals beide Wege vorgestellt, aber folgender fällt mir persönlich leichter:

z=x+iy = -1+i = r*cos(a)+i*sin(a) = r*e^(i*a)

-> cos(a)= x/r
-> sin(a) = y/r
-> Für welches a passt das?

Für z=-1+i wäre das also r=2^(1/2)
-> cos(a)= -1 / 2^(1/2)
-> sin(a) = 1 / 2^(1/2)
-> Durch Betrachtung des Einheitskreis siehst du nun, dass die Lösung im 2. Quadrant liegen muss (da cos positiv und sin negativ) und |a|=pi/4 sein muss. Das heisst, der korrekte Winkel ist pi/4+pi/2, also 3/4*pi.

-> z=2^(1/2)*e^(i*3/4*pi)

Deine erste Lösung a=7/4*pi ist nicht korrekt, diese Lösung liegt im 4. Quadrant, somit wäre der sin negativ und der cos positiv.

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