Komplexe Lösung von höheren geraden Wurzeln von negativen Zahlen?

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3 Antworten

Ich hoffe ich habe dich richtig verstanden !

Der allgemeine Fall für Potenzierung lautet so -->


(a + b * i) ^ (c + d * i) = u + v * i

i ist die imaginäre Einheit

mit


k = a ^ 2 + b ^ 2

u = k ^ (c / 2) * e ^ (-(atan2(a, b) * d)) * cos(( ln (k) * d ) / 2 + atan2(a, b) * c)

v = k ^ (c / 2) * e ^ (-(atan2(a, b) * d)) * sin(( ln (k) * d ) / 2 + atan2(a, b) * c)


atan2 ist die Atan2 - Funktion, die wird hier gezeigt -->

https://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens#atan2

Manche Rechengeräte / Programmiersprachen vertauschen atan2(a, b) mit atan2(b, a), falls du also falsche Ergebnisse rausbekommst, dann einfach die Argumente vertauschen.

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Daraus kann man nun den Fall herausarbeiten, wenn der Exponent nicht komplex ist, das ist der Fall wenn d = 0 ist, dann vereinfacht sich das Ganze -->

(a + b * i) ^ c = u + v * i

k = a ^ 2 + b ^ 2

u = k ^ (c / 2) * e ^ (-(atan2(a, b) * 0)) * cos(( ln (k) * 0 ) / 2 + atan2(a, b) * c)

u = k ^ (c / 2) * cos (atan2(a, b) * c)

v = k ^ (c / 2) * e ^ (-(atan2(a, b) * 0)) * sin(( ln (k) * 0 ) / 2 + atan2(a, b) * c)

v = k ^ (c / 2)  * sin (atan2(a, b) * c)

Nun  hast du die Formeln.

Bei höheren Geraden Wurzeln nimmt c dann nur Werte an wie c = 1 / 2, c = 1/ 3, c = 1 / 4, c = 1 / 5, c = 1 / 6 ..... und so weiter.

Entweder du brauchst ein Rechengerät, was die atan2 - Funktion schon implementiert hat, oder du musst dir die atan2 - Funktion in einer Programmiersprache selber programmieren, auch die Rechnung von Hand dürfte kein Problem sein.

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Kommentar von DepravedGirl
09.03.2016, 18:47

Anmerkung -->

Der Term (a + b  * i) muss nicht komplex sein, er kann mit b = 0 auch reell sein. und a und b können auch negativ sein.

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Kommentar von grafensport
19.03.2016, 00:23

Eins verstehe ich noch nicht u und v scheinen ziemlich eindeutig, stimmt das?

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ja, solche Zahlen gibt es in den komplexen Zahlen.

Wenn du die x-te Wurzel  ziehst, gibt es sogar x Lösungen, sprich es gibt vier verschiedene komplexe Zahlen a mit a⁴=-3.

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Kommentar von YStoll
09.03.2016, 18:34

Kennst du die komplexe Zahlenebene?

In dieser kann man jeder Zahl einen Real- und Imaginärteil zuweisen.

Alternativ bestimmt man, wie weit sie vom Ursprung, der Null entfernt ist und welches der Winkel zur positiven reellen Achse ist.

Das nennt man dann Polarschreibweise.

Es gilt für den Winkel im Bogenmaß: z = a + bi = r * e^(i * w)
mit z für eine beliebige, komplexe Zahl, a für den Realteil, b für den Imaginärteil, i² = -1, r der Abstand oder Betrag zur 0: r=sqrt(a²+b²), e für die Eulersche Zahl und w für den Winkel, auch Argument genannt.

Es gilt: z^x = r^x * e^(i * w * x)

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Allgemein gilt, dass es aus einer komplexen zahl x genau n verschiedene n-te Wurzeln gibt. Ich weiß nicht ob dir die Polardarstellung von komplexen Zahlen etwas sagt. Diese Darstellung wird dabei verwendet.

Zum Beispiel der 20. Wurzel aus -3.

Es gibt die lösungen
z_k=(3)^(1/20)*e^(pi*i/20+2pi*i*(k/20)) wobei k=0,1,...,19

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