Frage von Pinkesminzblatt, 37

Komplexe Kombinatorik :O?

Wie viele 7-stellige Ziffernkombinationen erhalten genau zweimal eine 3? Danke:)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 13

Hallo,

die Sache ist komplexer, als sie auf den ersten Blick scheint. Du mußt folgende Gesichtspunkte berücksichtigen:

Die Zahl enthält zwei Dreien, die ununterscheidbar sind. 

Die Zahl hat sieben Stellen.

Die fünf Stellen, die nicht von Dreien besetzt sind, haben eine der neun anderen Ziffern.

Eine oder mehrere führende Nullen sind nicht erlaubt: 

0012334 ist keine gültige natürliche Zahl.

Wenn unter den anderen Ziffern gleiche vorkommen, sind auch diese nicht zu unterscheiden.

So summierst Du am besten die Möglichkeiten, die davon abhängen, an welcher Stelle sich die erste der beiden Dreien befindet.

I: Eine Drei steht an erster Stelle. Dann gibt es für die andere Drei noch sechs Möglichkeiten, wo sie sein kann, für die restlichen Stellen kommt jeweils eine von neun Ziffern in Frage. Das Problem der führenden Null stellst sich in diesem Fall nicht:

6*9^5=354294

II: Die erste Drei steht an zweiter Stelle. Für die zweite gibt es noch fünf Möglichkeiten, die restlichen vier Stellen hinter der Drei können wieder von einer von 9 Ziffern eingenommen werden, die Stelle vor der 3 aber nur von 8, denn eine führende Null geht nicht (jedenfalls nicht bei den natürlichen Zahlen). Also:

8*5*9^4=262440

III: Die erste Drei steht an dritter Stelle. Hinter der Drei gibt es 
4*9^3 Möglichkeiten, vor der Drei gibt es 8*9=72, die noch als Faktor hinzukommt:

72*4*9^3=209952

IV: Nach diesem Schema geht es weiter:

8*9^2*3*9^2=157464

V: 8*9^3*2*9=104976

VI: 8*9^4=52488
(Hier liegen die beiden Dreien an der 6. und 7. Stelle, wo es keinen Spielraum mehr gibt; es geht nu noch um die fünf Ziffern davor, die keine führende Null haben dürfen.

Es gibt also 354294+262440+209952+157464+104976+52488=1141614
unterschiedliche siebenstellige Zahlen mit zwei Dreien und fünf anderen Ziffern.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Ich habe noch einmal Deine Frage gelesen. Dort steht Ziffernkombinationen und nicht Zahlen. In diesem Fall ist eine führende Null natürlich kein Problem.

Hier rechnest Du einfach (7 über 2)=21*9^5=1240029 Kombinationen, denn es gibt 21 Möglichkeiten, die beiden Dreien unter den sieben Stellen zu verteilen, kombiniert mit den fünf restlichen Stellen, an denen jeweils eine von den neun restlichen Ziffern stehen kann.

Willy

Kommentar von Pinkesminzblatt ,

Hallo, vielen dank für deine grosse Mühe! :) Leider stimmen beide Ergebnisse nicht, auf meinem Lösungsblatt steht 922509:(

Kommentar von Willy1729 ,

Kann eigentlich nicht sein.

Es gibt 21 Möglichkeiten, die beiden Dreien zu verteilen. Dann bleiben für die anderen fünf Stellen 9^5 Kombinationen übrig (die 3 darf ja nicht mehr dabei sein). 21*9^5=1240029.

Du kannst das Problem reduzieren: Es gibt 5 Stellen und nur die Ziffern 1,2 und x. Zwei x sollen dabei sein, die restlichen Stellen können eine 1 oder eine 2 enthalten.

Dann gibt es 10 Möglichkeiten (5 über 2), die beiden x zu verteilen, und 2^3=8 Möglichkeiten für die 3 anderen Stellen.

Das macht 8*10=80 Kombinationen, die Du notfalls noch aufschreiben und durchzählen kannst.

Im Prinzip der gleiche Rechenweg wie bei 7 Stellen, 2 Dreien und 5 Stellen mit 9 möglichen Ziffern:

(7 über 2)*9^5.

Kommentar von Wechselfreund ,


Leider stimmen beide Ergebnisse nicht, auf meinem Lösungsblatt steht 922509:

Lösungsweg dazu würde mich interessieren!

Antwort
von Gerste94, 27

Ich würde mal sagen 6+5+4+3+2+1=21

Kommentar von Gerste94 ,

ach ne, was für ein Unsinn ... du musst 21 mit 5 hoch 5 noch multiplizieren

Kommentar von Gerste94 ,

und auch nicht 5 hoch 5 sondern 9 hoch 5.... wo ist nur mein Hirn hin?!

Antwort
von iokii, 22

Überleg dir, wie viele Kombinationen es gibt, wenn die beiden 3en an einer festen Position sind, und dann überleg dir, wie viele verschiedene Positionen es für die beiden 3er gibt.

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