Frage von BestOnce, 24

Komplexe Extremwertprobleme zylinderförmige Dosen?

Hi ich komm nicht weiter.

Es sollen zylinderförmige Dosen mit dem Volumen V hergestellt werden. Wie sind r und h zu wählen, damit a) die gesamte Naht aus Mantellinie, Deckelrand und Bodenrand minimal wird? b) die Oberfläche möglichst klein wird?

Bei der a hab ich eigentlich alles... r= Dritte Wurzel aus V/(2pipi) nur wie mach ich das mit h? h=V/(pidritte Wurzel aus V/(2pi*pi)) kann ich das noch vereinfachen? und wie mach ich die b?

Antwort
von PeterKremsner, 16

Die Höhe eines Zylinders ist Volumen durch Deckfläche (kreisfläche)

Also:

h = V/(r²*pi)

nix mit 3te Wurzel usw.

Die Oberfläche des Zylinders ist

O = 2*pi*r*(r+h) jetzt das h von vorhin einsetzen:

O = 2pi*r*(r+V/(r²*pi)) und r reinmultiplizieren:

O = 2pi*(r²+V/(r*pi))

Das jetzt ableiten und 0 setzen:

0 = 2pi*(2r - V/(r²*pi)) das jetzt noch mit r² multiplizieren liefert:

0 = 2pi*(2r³-V/pi) umformen nach r³

0 = 2r³-V/pi

V/pi = 2r³

r³ = V/(2pi)

und die Dritte wurzel davon ziehen:

r = dritteWurzel(V/2pi)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

V = pi r² h → h= V/(pi r²)

Naht = 4 pi r + h jetzt h ersetzen und N ' = 0

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b) Oberflächenformel und h ersetzen; O ' = 0

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