Frage von Zombie789, 131

Kommt eine unendlich lange Zahl auch in einer anderen unendlichen Zahl vor?

Wenn man jetzt zum Beispiel eine Reihenfolge aus tausend zufällig ausgewählten Zahlen hat, dann kommt diese Reihenfolge ja genauso auch in einer unendlichen Zahl wie z.Bsp. pi vor. Mag das früher oder später sein, aber es kommt mit 100%iger Wahrscheinlichkeit irgendwann mal vor, weil pi ja unendlich ist. Jetzt zu meiner Frage: Kommt denn dann auch z.Bsp. die Wurzel aus 2 oder irgendeine andere unendlich lange Zahlenfolge auch in pi vor? (pi dient nur als Beispiel)

Antwort
von ralphdieter, 35

Für eine irrationale Zahl p<1 hast Du ab jeder Dezimalstelle n genau eine irrationale Rest-Zahl q mit 0.1<q<1.
Dabei gilt: p = (a+q)/10^n mit a ganzzahlig.

q kannst Du nun aus p und n berechnen:

(I)    q = 10^n·p - a

wobei a die ersten n Ziffern von p sind. So kommst Du auf abzählbar viele solche Rest-Zahlen, für jedes n eine. Mehr gibt es nicht.

Wenn Du willst, kannst Du neben q auch 10^z·q (z ganzzahlig) gelten lassen (weil sie dieselben Dezimalziffern haben). Das ändert aber nichts an der Abzählbarkeit.

Fazit: Nur "wenige" Paare p, q erfüllen (I). Dein Beispiel mit p=π und q=√2 gehört leider nicht dazu. Beweis: Nach Quadrieren von (I) steht links eine 2 und rechts was Irrationales.

Antwort
von Roach5, 13

Dass die Dezimaldarstellung einer Zahl unendlich ist, bedeutet nicht, dass jede beliebige (endliche) Folge dadrin vorkommt z.B. 1/3 = 0,33.. wird nie eine 4 enthalten. Zahlen, die aber diese Eigenschaft erfüllen, und jede Folge mit gleicher relativer Häufigkeit, nennt man "normal". Offensichtlich müssen "normale" Zahlen irrational sein.

Dass π diese Eigenschaft erfüllt, also normal ist, ist auch nicht vollständig geklärt, oder eher gar nicht. Berechnungen legen nahe, dass π normal sein könnte (indem man einfach per Hand die relativen Häufigkeiten von Sequenzen für ganz lange Teildezimalentwicklungen von π ausrechnet), aber bewiesen hat das noch niemand, und es ist nicht klar, wo man überhaupt anfangen soll.

Jetzt deine eigentliche Frage: Kann eine beliebige unendliche Folge in einer normalen Zahl vorhergesagt werden, z.B. sqrt(2) in π (unter der Annahme, dass π normal ist)? Das Problem ist, dass wir nicht mit Normalität argumentieren können, da Normalität nichts über unendliche Folgen aussagt.

Meine Teilantwort ist: Es sollte für die meisten Zahlen nicht gelten. Wenn unsere Ausgangszahl rational ist, gibt es genausoviele unendliche Folgen in der Dezimaldarstellung, wie die Länge der Periode der Darstellung, nämlich abhängig davon, wo man anfängt. Ab da sind alle Zahlen Zehnerpotenzen dieser Ausgangszahlen. Für irrationale Zahlen sollte es unendlich viele Zahlen geben: Du nimmst dir die Dezimaldarstellung ab einem bestimmten Punkt, schiebst irgendwo ein Komma hin, und hast eine Zahl produziert. Das sind auf jeden Fall nicht viele, nämlich abzählbar unendlich viele. Aber die Rückrichtung ist das eigentlich interessante, denn wenn deine Zahl sehr chaotisch ist wie π, dann muss man ein konkretes Beispiel immer per Hand rechnen, da es gar nicht so klar ist, ob sqrt(2) in π enthalten ist. Mit unterem Argument kann ich immerhin antworten: Keine algebraische Zahl ist in einer transzendenten enthalten. Als Beispiel wieder π und sqrt(2):

Wenn sqrt(2) in π enthalten wäre, dann wäre ab einem bestimmten Punkt k die Dezimaldarstellung von "Standard-π" "beendet" und dann übernimmt die Dezimaldarstellung von sqrt(2). Die ersten k Ziffern seihen 3,p1p2p3...pk.

Dann definieren wir die Zahl, die aus der 3, den ersten k Nachkommastellen und einer 0 dahinter besteht, als: N := 3p1p2p3...pk0.

Wir bekommen: 10^(k+1) π = N + sqrt(2), bzw: π = (N + sqrt(2))/10^(k+1). π ist aber eine transzendente Zahl (keine Nullstelle eines rationalen Polynoms), die rechte Seite ist aber algebraisch (Nullstelle eines rationalen Polynoms). Also kann sqrt(2) nicht in der Dezimaldarstellung von π liegen.

Hier wieder das bekannte Problem: Wir wissen von sehr vielen Zahlen nicht, ob sie transzendent oder algebraisch sind, dieses Argument können wir also fast nirgendwo anwenden. Echt schade aber auch, wir brauchen mehr Zahlentheoretiker!

LG

Kommentar von Roach5 ,

Eine kleine Vermutung, an der man rumfuchteln könnte (wenn sich hier ein echter Mathematiker findet, weil ich keine Ahnung von dem Gebiet habe):

Sei x eine reelle Zahl und D(x) die Menge der Zahlen, deren Dezimalfolge in x vorkommt (unabhängig davon, wo das Komma jetzt ist).

Dann enthält x genau dann jede endliche Zahlenfolge, wenn D(x) dicht in R ist.

Die Hin-Richtung ist trivial, aber die Rückrichtung bereitet mir Kopfschmerzen. Warum musste ich nur auf diese Frage klicken?

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 43

Man kann heute schon relativ genau sagen, wieviel Stellen von Pi man durchsuchen muss, um alle Ziffernkombinationen mit n Stellen garantiert zu finden:

http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm

Zahlenfolge A036903 = siehe dort

Da wir aber nur etwa 10^80 Atome im Weltall haben, gelangt man schnell an die Grenzen des Machbaren!

Andere irrationale Zahlen kannst Du vergessen, da das Ergebnis dann gegen unendlich strebt, also NIE erreicht werden kann.

Kommentar von hypergerd ,

Nochmals in einfachen Worten: 

Für jede neu hinzukommende Ziffer der irrationalen Suchzahl (z.B. Wurzel von 2)

muss in Pi mehr als den Faktor 10 mal Nachkommastellen suchen!

Da die Suchzahl irrational sein soll (unendlich viele Nachkommastellen) -> ist die Position größer als ∞*10 = ∞

n  -> Position der Übereinstimmung

1   |  32

2  |  606

11 |  2512258603207

∞  |  ∞

und das Ergebnis ∞ bedeutet in der Praxis "Suchen ohne Ende" = "nie"

Antwort
von Schachpapa, 29

Wenn die Stellen von w = Wurzel(2) in pi vorkämen, müssten beide Zahlen ab einer bestimmten Stelle gleich sein und wenn du die Differenz bildest, käme ein endliches Anfangsstück a heraus.

Nur grob skizziert:

pi - w/10^n = a bzw. a + w/10^n = pi

a ist endlich also rational, w/10^n ist eine algebraische Zahl, pi ist eine transzendente Zahl, d.h. sie kann nicht Nullstelle eines Polynoms vom Grad größer Null sein.

Intuitiv würde ich sagen, dass die Summe aus einer rationalen und einer algebraischen Zahl wieder algebraisch und nicht transzendent ist.

Beweis zur Übung ;-)

Antwort
von Rowal, 22

Die Frage ist intelligenter, als die meisten hier glauben. Es verhält sich so: Man teile die Dezimalbruchentwicklung einer Zahl x in Blöcke auf z.B. in Blöcke zu je 1000 Ziffern. Dann kommen mit Wahrscheinlichkeit 1 - im Sinne der Maßtheorie - alle unendlich viele Blöcke in der richtigen Reihenfolge in einer anderen vorgegebenen  irrationalen Zahl y vor. Nur gibt es  Lücken zwischen den Blöcken, in denen andere Ziffern stehen.

Antwort
von Kuno33, 81

Es gibt keine Zahl "unendlich". Die Vorstellung "unendlich" ist sehr abstrakt. Letztlich hat die Zahl kein Ende. Daher ist sie eigentlich keine Zahl.

1/0= unendlich

Kommentar von Zombie789 ,

Ich meinte damit, dass die Ziffernfolge einer Zahl unendlich lang ist und nicht, dass die Zahl selbst ∞ ist

Antwort
von CSSx3, 67

Dazu hab ich mal ein test gesehen. Du wirst keine unendliche Zahl in einer unendlichen finden. In dem test war das mit Buchstaben. Wenn man ein Affe unendlich lange auf der Tastatur Buchstaben eingeben lassen lässt, wird er irgendwann das Wort "Affe" geschrieben haben, auch wenn es nur zufällig ist. Und irgendwann wird er mal eine ganze Bibliothek komplett und fehlerfrei abgeschrieben haben. Also warum sollte das auch nicht für zahlen gelten?

Kommentar von gerolsteiner06 ,

Deine Auusage widerspricht sich: erst behauptest Du "Du wirst keine unendliche Zahl in einer unendlichen finden"   -was falsch ist, denn eine unendlich lange Zahlenfolge kann Teil einer anderen unendlich langen Zahlenfolge sein. da könnte ich Dir unendlich viel Beispiele geben.

Dann kommst Du mit dem Affe-Beispiel, mit dem Du genau das Gegenteil aussagst;   das für vieles herangezogen wird und meist falsch verstanden wird. Auch wenn der Affe unendlich lange auf der Tastatur tippt, kann es sein, daß er kein einziges vernünftiges Wort der Deutschen Sprache tippt (geschwiege denn ein ganzes Buch oder auch eine ganze Bibliothek) - dazu gibt es exakte Aussagen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Kommentar von hellrot5 ,

Das stimmt so nicht, wenn der Affe unendlich lange tippt, wird er jede vorgegebene endliche Zeichenfolge irgendwann getippt haben. In deiner Bibliothek stehen nur endlich viele Bücher mit endlich vielen Wörtern, dieses Beispiel bringt nichts für die eigentliche Frage.

Kommentar von gerolsteiner06 ,

Nein, das ist nicht richtig:

Da in dem genannten Ereignisraum (auch bei unendlich langem Tippen) auch das Ereignis drin ist, dass er IMMMER genau auf eine Taste tippt, oder genau eine Taste NIE berührt, so ist die Aussage: Er wird JEDE vorgegebene Zeichenfolge irgendwann getippt haben, falsch.

Wohl gemerkt: ich sage nicht wie groß die Wkt dafür ist (sie ist sehr sehr klein aber nicht 0), sondern nur, daß es viele (unendlich viele) Ereignisse gibt, die nicht zu dem abgefragten Ergebnis kommen.

Nur unter etwas modifizierten Bedingungen, die den Ereignisraum einschränken (den Du anscheinend implizit im Kopf hast), kann man zu deiner Aussage kommen.

Kommentar von Zombie789 ,

Sind dann die Aussagen in diesem Video hier falsch?

https://www.youtube.com/watch?v=Mr-kND5o430

Kommentar von hellrot5 ,

Ok er tippt es mathematisch korrekt nur "fast sicher" ein, das bedeutet nach Definition aber mit Wahrscheinlichkeit 1 und dass er immer die gleiche Taste drückt hat Wahrscheinlichkeit 0.

Laut Wikipedia:
Ein fast sicheres Ereignis tritt also nicht notwendig ein, sondern auf einer Menge vom Maß eins

Kommentar von Roach5 ,

Nein wird er nicht. Er wird mit Wahrscheinlichkeit 1 jedes Ereignis abgetippt haben. Was der Großteil der Menschheit nicht versteht ist aber, dass Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 1 nicht unbedingt eintreten müssen.

Kommentar von Zombie789 ,

@gerolsteiner06 Jetzt widersprichst du dir aber auch. Bei deiner anderen Antwort hast du gesagt, dass das Thema nix mit Wahrscheinlichkeiten zu tun hat und sagst, dass es exakte Aussagen der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt.

Außerdem, wenn der Affe wirklich unendlich lange tippt, kommt durch aus irgendwann die "Bibliothek" vor

Kommentar von gerolsteiner06 ,

siehe oben: nur in einem etwas anders definierten Modell

Kommentar von gerolsteiner06 ,

o.k. das mit der Wkt-Aussage war schlecht formuliert, sondern zielte darauf, daß er diese umgangssprachliche Wkt-Auusage gemacht hatte (siehe unten)

Kommentar von hypergerd ,

Warum den langsamen Affen und nicht einen schnellen Computer nehmen? Unter 

http://www.lamprechts.de/gerd/php/suche-wort-in-pi-basis26.php

findet man AFFE

an Position  425864 in Pi verschlüsselt

AFFEDPQXVKQTHTVWJXZOPYZDSSSKKCWF....

Antwort
von gerolsteiner06, 54

1. Eine Zahl mit 1000 Stellen ist sehr lang, aber nicht unendlich lang !!!!!

2. Deine Frage ist so verquast gestllt, daß ich mal versuche sie so zu formulien wie ich denke, daß du sie stellen wolltest.

"Wenn ich mir eine beliebige Zahlenfolge vorgebe, wird diese dann in einer (jeder) beliebigen unendlich langen Zahl (als beispiel Pi) enthalten sein ?

Antwort: Nein!

Gegenbeispiel: Die Zahl 1/3 = 0,33333333......   enthält nur 3en

Da ist die Zahlenfolge 456  definitiv nicht drin.

3. Und das Wort Wahrscheinlichkeit in Deiner Auusage war hoffentlich nur illustrierend gemeint. Denn mit Wahrscheinlichkeiten hat das ganze Thema nichts zu tun.

Kommentar von Zombie789 ,

Ja, ich geb zu, dass es etwas komisch formuliert war :D

Ich bin ziemlich dumm, dass ich nicht auf so ein Beispiel wie mit 1/3 gekommen bin -.-

Und das mit der tausendstelligen Zahlenfolge sollte nur darauf hinweisen, was ich meine und nichts mit einer unendlich langen Zahl zu tun haben.

Kommentar von Zombie789 ,

Achso und das Wort Wahrscheinlichkeit bezog sich auf Eintrittswahrscheinlichkeit und nicht die mathematische nach Laplace (ich weis, es war sche*ße formuliert ;D )

Kommentar von gerolsteiner06 ,

Schon klar, aber genau das meinte ich:

Eintrittswahrschinlichkeit ist die mathematische Wahrscheinlichkeit. Aber was Du da geschrieben hast (mit  100%iger Wahrscheinlichkeit) war sicherlich nur die "umgangssprachliche" Wahrscheinlichkeit , dem Sinne "ich glaube fest daran, daß es mal vorkommt".

Kommentar von Zombie789 ,

Ja, ich glaube, was ich meinte, ist Möglichkeit

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