Könnte mir jemand bei einem Beispiel zum Thema Integrieren helfen?

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3 Antworten

Hallo,

g(x)=4x-12 hat nur eine Nullstelle bei x=3.

f(x) ist eine Stammfunktion von f'(x):

f(x)=x³-6x²+9x+c.

c müßte so bestimmt werden, daß f(3) Null wird. Das ist bei c=0 der Fall, denn 27-54+27+0=0

Also ist f(x)=x³-6x²+9x

Um den Schnittpunkt von f(x) und g(x) zu berechnen, setzt Du beide Funktionen gleich:

x³-6x²+9x=4x-12 oder:

x³-6x²+5x+12=0

Um nachzuweisen, daß sich beide Funktionen bei x=4 schneiden, mußt Du nun einfach für x eine 4 einsetzen und sehen, ob das Ganze wirklich Null wird:

64-96+20+12=0

Nachweis erbracht.

Um die Fläche zwischen beiden Funktionsgraphen für x größer oder gleich 3 zu berechnen, mußt Du die Differenz aus den Stammfunktionen, also aus F(x) und G(x) bilden, die Integrationsgrenzen 3 und 4 einsetzen und die untere von der oberen abziehen.

F(x)=(1/4)x^4-2x³+(9/2)x²

G(x)=2x²-12x

F(x)-G(x)=(1/4)x^4-2x³+(5/2)x²+12x

Wenn Du für x eine 4 einsetzt, ergibt das 64-128+40+48=24

Setzt Du für x eine 3 ein, bekommst Du:

20,25-54+22,5+36=24,75.

Die Differenz zwischen beiden ist -0,75. Da aber nur der Betrag interessiert,
ist die Fläche 0,75 FE groß.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Muckula
23.11.2015, 21:49

Das ist alles korrekt, aber ein kleines bisschen selbst arbeiten lassen kann man die Fragesteller doch auch noch, damit es auch einen Lerneffekt gibt ;)

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Kommentar von Willy1729
16.01.2016, 18:44

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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1) Gehe so vor:

1. Stammfunktion von 3x² -12x+9 bestimmen, denn du suchst ja die Nullstelle von f und nicht von f' (der 1. Ableitung). Denk daran, dass die Stammfunktion immer eine Konstante enthält: z.B. ist f(x)= x² + c für die Ableitung f'(x)=2x, denn das c (reelle Zahl) fällt beim Ableiten weg.

2. Nullstelle von g bestimmen: Wie muss also x sein?

3. Dieses x mit g(x) = 0 in f(x) einsetzen, diesen Term gleich 0 setzen und nach c auflösen. Damit kennst du dann f.

4. f(x) = g(x) setzen und dabei für x den Wert 4 einsetzen. Wenn diese Gleichung stimmt, hast du gezeigt, dass sich die beiden Graphen an der Stelle 4 schneiden.

2) Integriere von x=3 bis x=4 über beide Funktionen. Bei x=4 schneiden sie sich, d.h. nur bis hier wird eine Fläche eingeschlossen. Die eingeschlossene Fläche erhälst du, wenn du das Integral über die obere Funktion (4x-12) minus das Integral über die untere Funktion (das Polynom 3. Grades) rechnest. Dass die Gerade oberhalb des Polynoms verläuft, siehst du, wenn du z.B. den Wert 3,5 einsetzt und schaust, wo der größere y-Wert rauskommt.

Mach dir am besten den Verlauf beider Graphen klar, indem du sie plotten lässt, z.B. hier: http://www.mathe-fa.de


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∫ a * x ^ n * dx = (a / (n + 1)) * x ^ (n + 1)

f´(x) = 3 * x ^ 2 - 12 * x + 9

∫ (3 * x ^ 2 - 12 * x + 9) * dx = (3 / 3) * x ^ 3 - (12 / 2) * x ^ 2 + (9 / 1) * x ^ 1 = x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 9 * x + C

f(x) = x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 9 * x + C

g(x) = 4 * x - 12

Wir setzen C = 0

f(x) und g(x) gleichsetzen -->

x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 9 * x = 4 * x - 12

x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 5 * x + 12 = 0

Wertetabelle -->

-5 → -288

-4 → -168

-3 → -84

-2 → -30

-1 → 0

0 → 12

1 → 12

2 → 6

3 → 0

4 → 0

5 → 12

Nullstellen -->

x _ 1 = -1

x _ 2 = 3

x _ 3 = 4

H(x) = ∫ (x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 5 * x + 12) * dx = (1 / 4) * x ^ 4 - (6 / 3) * x ^ 3 + (5 / 2) * x ^ 2 + (12 / 1) * x + C = (1 / 4) * x ^ 4 - 2 * x ^ 3 + (5 / 2) * x ^ 2 + 12 * x + C

C = 0

H(x) = (1 / 4) * x ^ 4 - 2 * x ^ 3 + (5 / 2) * x ^ 2 + 12 * x

H(4) = (1 / 4) * 4 ^ 4 - 2 * 4 ^ 3 + (5 / 2) * 4 ^ 2 + 12 * 4 = 24

H(3) = (1 / 4) * 3 ^ 4 - 2 * 3 ^ 3 + (5 / 2) * 3 ^ 2 + 12 * 3 = 99 / 4


H(4) - H(3) = 24 - 99 / 4 = -0.75 = - 3 / 4


Da es keine negativen Flächeninhalte gibt ist der Flächeninhalt 3 / 4

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