Frage von Tomate91, 33

Könnte mir jemand bei dieser Vektoraufgabe weiterhelfen?

Ich verzweifle leider etwas an dieser Aufgabe :

Wie lautet die Funktion y = f(x), damit die Vektoren in einer gemeinsamen Ebene liegen?

a = ( -7; 4; -6), b = ( -2; x; -3), c = ( 8; 8; y)

Vielen Dank schon einmal im Voraus

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 11

Ein einfacher, wenn auch etwas umständlicher Weg ist die Herstellung einer Gleichung: r <a> + s <b> = <c>

Der Ansatz für das Verfahren basiert auf der Tatsache, dass drei Vektoren im R³ genau dann linear abhängig sind, wenn sie in einer Ebene liegen. Das ist dann der Fall, wenn sich der dritte Vektor durch die beiden anderen ausdrücken lässt.

Das bedeutet zeilenweise:

-7 r  -  2 s  =  8   |  *(-3)
 4 r  +  x s =  8
-6 r  -  3 s  = y    |  *2

Addiere ich die beiden mit den Faktoren, erhalte ich:
9 r   =  2y - 24 

Das wäre mit r = 2 erfüllt. (Das setze ich mal. In der Vektorrechnung kann man das tun, wenn der Rest widerspruchsfrei ist.)

y = 21 folgt daraus.

Mit diesen beiden Zahlen gewinne ich aus den übrigen Gleichungen 
x = 0        Das kann durchaus Komponente eines Vektors sein.
s = -11

Daraus ergibt sich, eingesetzt in die Vektorgleichung ganz oben, auf der linken Seite:

2 < -7 ; 4 ; -6> - 11 < -2 ; 0 ; -3 > =  < 8 ; 8 ; 21 >

Das ist aber kein anderer als der vektor < c >   mit 21 als dritter Komponente.
Damit sind die 3 Vektoren linear linear abhängig in der gleichen Ebene.

Ich hoffe, dass ich mich nirgends vertippt habe.
Aber der Rechenweg ist ja leicht nachzuvollziehen.
  

Antwort
von PhotonX, 18

Kennst du das Spatprodukt? Wenn das Spatprodukt von drei Vektoren Null ist, dann ist das Volumen des von ihnen aufgespannten Spats Null, also liegen sie in einer Ebene. Setze also A*(B x C) = 0 (wobei * das Skalarprodukt und x das Kreuzprodukt ist) und löse nach y.

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