Frage von FofoLP, 61

Könnte man eine zweite imaginäre Zahl 1/0=i definieren?

Ich meine es fällt mir jetzt keine Praktische Anwendung für 1/0=i ein, da in der Natur sich Parameter meist wenn überhaupt nur an Null annähern. Aber wenn man für i^2=-1 definiert hat und einen ganzen Zahlenbereich erschaffen hat, nur dadurch dass etwas unmögliches als eine Variable definiert wurde, muss dass doch auch für 1/0=i (oder i*0=1) möglich sein, oder? nur so rein Hypothetisch.. (Selbstverständlich müsste das i einen Index bekommen oder eine andere Variable sein, um sie vom echtem i unterscheiden zu können, aber darum gehts ja nicht..)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PeterKremsner, 35

Da gibts ein paar Probleme, was wäre die Umkehrung:

i ist ja die Wurzel von -1 somit ist i² = -1

wenn du jetzt zB sagst d = 1/0 was ist da die Umkehrung?

d*unendlich = 1??

Zudem ist i nicht nur eingeführt damit man die Wurzel von -1 bestimmen kann, es gibt auch sehr viele Anwendungen dafür. Schwingungen wie Sinus und Cosinus können damit sehr effektiv über die Eulersche Identität ausgedrückt werden und viele Rechnungen werden einfacher.

Zb in der Elektrotechnik, die gesamte Wechselstromrechnung basiert auf diesem Verfahren zudem kann man damit die Differentialgleichungen vereinfachen.

Die Spannung an einer Spule ist zB U = L* dI/dt, wenn man I jetzt als Sinusschwingung mit I * e^(jwt) ansetzt und das einsetzt kommt man auf:

U = L* jw * I * e^(jwt) = jwL*I (eine Formel die jeder Elektriker kennt und sehr einfach anzuwenden ist).

Zudem kann man 1/0 mehr oder weniger sogar darstellen nämlich als limes x gegen 0 von 1/x. Und damit lässt sich auch rechnen.

In der Mathematik gibt es auch eine ähnliche Distribution zu 1/0, das wäre das Dirac Delta. Das ist ein unendlich hoher Impuls bei x = 0 mit der Fläche 1, links und rechts von x = 0 ist der Wert überall 0.

Kommentar von FofoLP ,

die Umkehroperation wäre i*0=1. (Hab ich glaube auch geschrieben, lies nochmal nach;) )

Kommentar von PeterKremsner ,

Ja macht aber genau so wenig Sinn wie i * unendlich ;)

Der Grund ist, wenn du solche Zahlen einführst dann hast du bezüglich der Multiplikation kein Nullelement mehr. Das ergibt im Endeffekt einige Probleme für andere Rechnungen.

Du verletzt nämlich eine Eigenschaft eines Körpers:

Jeder Körper ist nullteilerfrei: Ein Produkt zweier Elemente des Körpers ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

somit hast du im Endeffekt einen Körper....

https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Algebra%29

Kommentar von FofoLP ,

Das mag sein, aber mein Halbwissen sagt mir, dass es da sowieso ein allgemeines Problem in der Mathematik (oder noch grundlegender der Logik) gibt, welches besagt dass es unmöglich ist zwei oder mehrere Logische Systeme (oder wie man das nennen mag) widerspruchsfrei zu integrieren (keine Ahnung ob ich das richtig erklärt hab, aber ich meine die Widerspruchsfreiheitsproblematik, die 
Bertrand Russell 1902 entdeckte) Das heißt der Widerspruch zu den Körpern macht meine Definition nicht falsch, nur unbrauchbar. Aber die Spielerei macht eben Spaß ^^

Kommentar von PeterKremsner ,

Falsch ist sie natürlich nicht und ich habe auch nie gesagt, dass es falsch sei, aber es ist in weiten Teilen nicht brauchbar.

Das führt auch auf das Problem was Schachpapa wegen dem Assoziativgesetz gesagt hat, was aber nicht weiter tragisch ist.

Aber wie ich in meiner Ursprünglichen Antwort erwähnt habe es gibt so ähnliche Konstrukte durchaus in der Mathematik, nur wird es eben da über Grenzwerte geregelt und da ist es durchaus handhabbar.

Ein Beispiel dazu:

i = limes x gegen 0 von 1/x

y = limes x gegen 0 von x

i*y = limes x gegen 0 von x/x = 1

Also das kommt den von dir geforderten Regeln schon durchaus nahe.

Also wie gesagt, ja du kannst es so definieren, es macht aber wenig Sinn weil du dir durch solche Zahlen mehr Probleme als Vorteile einhandelst.

Zudem gibt es bereits ein Werkzeug in der Mathematik, dass dem entspricht und das ist der Grenzwert von Funktionen.

Kommentar von PeterKremsner ,

Lies dir diesbezüglich, die Gruppentheorie durch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Magma_(Mathematik)
https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)
etc..

Vielleicht auch interessant ist, das hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution

Das ist auch etwas, was deinen Forderungen sehr nahe kommt, mit dem sich aber super rechnen lässt, zudem würde es ohne das kein Internet geben....

Antwort
von Schachpapa, 34

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich, die Rechenregeln gelten weiterhin.

Wenn du j=1/0  definierst, ist dann 5j =5/0 ? Und damit 5j*0=5? Darf ich das nach dem Kommutativgesetz umstellen zu 0*5j=5 ? Spätestens beim Assoziativgesetz (0*5)j = 0*j gibt's ein Problem, oder? Denn 0j ist sicher nicht 5.

Kommentar von FofoLP ,

Wenn man es so festlegt schon, i^2 darf ja auch -1 sein, weil man das so sagt. Ich schau mir das nachher nochmal an, hab grad keine Zeit, aber ich glaube du hast Recht, das widerspricht sich... ODER du hast nen Fehler gemacht... ich schreib heute Abend nochmal ^^

Kommentar von FofoLP ,

Daaaas hab ich nicht mitbedacht... Da muss ich mir noch was einfallen lassen. Andererseits fällt mir gerade ein, dass in einem anderen Zahlenbereich das Assoziativgesetz auch nicht funktioniert, nämlich wenn man die komplexen Zahlen um ein paar Variablen zusätzlich zu i erweitert. (acht und sechzehn- Dimensional und so) Ich habs selbst nicht ganz verstanden, aber hier mal ein Video von Numberphile, wo das nochmal erklärt wird ^^( https://www.youtube.com/watch?v=3BR8tK-LuB0 so ab 10:39 kommt der Part den ich meinte)

Antwort
von GanMar, 31

Wenn Du eine Zahl definieren wolltest, welche nicht imaginär (die gibt es ja schon) ist, sondern beispielsweise "trimaginär", dann müßtest Du dazu auch sämtliche Rechenregeln "erfinden". Und diese dürften sich in keinem Punkt widersprechen und müßten zudem zu der kompletten Mathematik "kompatibel" sein.

Kommentar von FofoLP ,

Ein Anfang wäre ja schonmal 1*0=i, 1*i=0, 2*0=2i, 2*1=0, 2/0=2i... kann auch sein dass sich da noch irgendwas wiederspricht, keine Ahnung, aber...

Leitet sich das nicht alles von selbst ab, wie bei den echten imaginären Zahlen? Oder allgemein in der Mathematik? Ich meine Mathematik is doch rein deduktiv, oder nich? Das können zur Not auch die anderen besseren Mathematiker schnell mal herleiten, wenn das ganze vllt. doch relevant wird, und die es brauchen. Ich mach mir da doch nicht die Finger schmutzig, ich hatte nur die Idee, nicht mehr und nicht weniger ;D

Antwort
von zalto, 19

Hmmm, das gibt ganz interessante Ergebnisse:

i = 1 / 0
0 * i = 1
1 / i = 0
i² = 1²/0² = 1/0 = i

Ich glaube Dein "i" ist einfach eine Art Unendlich, das man so normiert hat, dass man, wenn man es mit Null multipliziert, genau auf 1 kommt.

Erinnert mich ein wenig an die Delta-Distribution (Dirac'sche Delta-Funktion): Die ist an einer Stelle auch unendlich, aber wenn man drüber integriert, bekommt man 1.

Was mich noch interessieren würde: Ist 0 / 0 in Deiner i-Schreibweise ein definierter Ausdruck? Oder braucht man dann eine noch imaginärere Zahl?

Kommentar von FofoLP ,

Keine Ahnung, aber irgendwie is das glaube ne Mathematik mit tausend Ausnahmen für sich, offensichtlich scheint das Assoziativgesetz nicht zu funktionieren und das wird auch nicht das einzige sein was nicht will... Division durch null undefiniert zu lassen is glaube die einfachste Lösung. (aber das macht ja gerade den Reiz aus sich da heranzuwagen :P)

Antwort
von daCypher, 33

Natürlich, definieren könnte man das. Ob das dann von irgendwelchen Mathematikern als hilfreich erkannt und weiterverwendet wird, ist aber die andere Frage.

Kommentar von FofoLP ,

Das ist richtig. Mir gehts aber mehr um das was wäre wenn, nicht um die Nützlichkeit ^^

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