Könnt ihr bei diesem mathematischen Problem helfen?

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3 Antworten

Naja, das geht vermutlich sogar auf verschiedene Arten. Eine davon wäre:

D sei der Mittelpunkt von AB , E der von CD  und  F  der von AC . Dann sind die Dreiecke BCD, CFE und FDE rechtwinklig und das Dreieck ADF gleichseitig. Diese vier Teildreiecke fügen sich zum ganzen Dreieck ABC zusammen.

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Kommentar von Galdur
29.09.2016, 15:34

Begründen wäre auch gut, warum die Dreiecke dann automatisch rechtwinklig sind. Das genau ist de Knackpunkt der Aufgabe, das Beweisen, warum das so ist.

:)

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Oder anders formuliert: 

Prämisse

Sei A ein beliebiges gleichseitiges Dreieck (wohlgemerkt mit Flächeninhalt F(A) > 0, ansonsten hast du 'nen Punkt).

Behauptung

Es gilt: A lässt sich immer restlos ein drei rechtwinklige Teildreiecke und ein gleichseitiges Teildreieck zerlegen.

Beweis

Seien a1, a2, a3 die Seiten von A. Aus der Prämisse folgt automatisch: a1 = a2 = a3. Seien weiterhin A1, A2, A3 die Punkte des Dreiecks.

Sei S1 der Mittelpunkt der Strecke a1 = d(A1, A2) wobei d(x, y) der Abstand zweier Punkte x und y sei.

Sei ebenso S2 der Mittelpunkt von a2 mit a2 = d(A2, A3). 

Sei nun t1 die Strecke von S1 nach S2 mit t1 = d(S2, S1).

Da A gleichseitig ist, folgt: t1 || a3. 

Es folgt außerdem, dass A zerlegt worden ist in ein gleichseitiges Teildreick A* mit den Seiten a1/2, a2/2 und t3, wobei a1/2 = a2/2 = t3 (folgt aus Strahlensatz). Sei weiterhin α = 60° der Winkel in A*, der am Punkt S1 anliegt.

Weiterhin wurde A in ein Trapez zerlegt.

Der Nebenwinkel von α beträgt 120°. Zeichne nun eine zu a1 orthogonale Strecke t2 am Punkt S1. Der Nebenwinkel von α wird in zwei Teilwinkel zerlegt, sodass wir einen rechten Winkel erhalten. 

Wir erhalten ein rechtwinkliges Dreieck A'.

Der Schnittpunkt von t2 und a3 sei Punkt S3. Verbinde nun S3 und S2.

Wir erhalten nun ein rechtwinkliges Dreieck A'' mit dem Punkt A3 als Eckpunkt.

Außerdem erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck A'''.

A' ist rechtwinklig, da die Strecke t2 orthogonal zu a1 gezeichnet wurde.

A'' ist rechtwinklig (folgt aus Wechselwinkel sätzen).

A''' ist rechtwinklig, da sein rechter Winkel ein Wechselwinkel vom rechten Winkel von A'' ist.

Gruß, Galdur :)

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Kommentar von Galdur
29.09.2016, 15:38

α sollte hier eigentlich ein (alpha) darstellen.

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Wettbewerbsaufgaben (Hier Matheolympiade 2016/17, Jahrgangsstufe 10, 2. Aufgabe) soll man selbstständig machen!

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