Frage von Masen, 28

Können Linearkombination alle Vektoren decken?

Die Vektoren u, v ∈ IR^2 u=(2,3) v=(3,-1).

Kann man jeden Vektor x = (x1, x2) ∈ IR^2 als Linearkombination von u und v anschreiben?

Falls ja, tun Sie ?

Antwort
von wictor, 11

Um jeden beliebigen Vektor im R2 als Linearkombination darzustellen, brauchst du zwei linear unabhängige Vektoren u und v. In diesem Beispiel trifft das zu.

Antwort
von PeterKremsner, 11

Die Frage dabei ist ob die Vektoren denn wirklich einen Raum aufspannen, das ist genau der Fall wenn sie nicht linear abhängig sind.

Am leichtesten lässt sich das mit der Determinante prüfen:

      2 3

      3 -1

Die Determinante dieser Matrix ist -2 - 9 = -11 => die Matrix ist nicht singulär und damit sind die Vektoren auch nicht linear abhängig.

Ich kann also einen Vektor x als x = x1*u + x2*v darstellen und kann damit jeden Punkt in der von v und u aufgespannten Ebene erreichen. x1 und x2 sind dabei natürlich keine Vektoren.

Mann muss hier allerdings anmerken, dass die Vektoren keine Orhonormalbasis aufspannen, also wie zB die Raumvektoren im euklidischen Raum x,y,z das verändert einige Rechnungen, ich kann aber den Unterraum jederzeit in eine Orthonormale Basis überführen.

Ich nehme an eine Transformation eines Vektors x vom Raum K in den durch u v aufgespannten Unterraum ist nicht nötig.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 4

Kann man jeden Vektor x = (x₁, x₂) ∈ ℝ² als Linearkombination von u und v anschreiben?

Die Frage scheint einfacher, als sie genau genommen ist. Ein Vektorraum V ist nämlich nicht eine Menge, die für sich allein steht, sondern ein Vektorraum über einem Körper 𝕂.

𝕂 ist eine Menge mit Addition und Multiplikation, für die die so genannten Körperaxiome gelten, wie ℚ, ℝ oder ℂ, aber auch sog. Restklassenkörper wie ℤ₂, der nur 0 (»gerade«) und 1 (»ungerade«) enthält.

V hat selbst eine Addition, und die Summe zweier Elemente ist selbst wieder Element von V. Außerdem, und das macht V zu einem Vektorraum über 𝕂, ist für λ∈𝕂 und v∈V eine Multiplikation λv definiert, sodass λv∈V.

Daher kann ℝ² zwar nicht Vektorraum über ℂ sein, wohl aber über ℝ, ℚ oder sogar über einem Restklassenkörper sein.

Nahe liegend ist natürlich 𝕂=ℝ, und das dürfte auch gemeint sein, wenn nichts weiteres dazu gesagt ist. In diesem Fall ist ℝ² zweidimensional, und dann genügen in der Tat zwei beliebige linear unabhängige Vektoren, um jeden Vektor x∈ℝ² darzustellen, und bei u und v kann man sogar gut sehen, dass sie linear unabhängig sind.

Als Vektorraum über ℚ oder gar einem Restklassenkörper ist ℝ² allerdings unendlichdimensional.

Antwort
von JungfrauMaria, 12

Ja kann man, da Du ja beide Vektoren mit beliebigen Skalaren (Faktoren) multiplizieren und dann miteinander addieren kannst. Dadurch kannst du mit zwei Vektoren im R² auch jeden möglichen Vektor im R² bilden!

Antwort
von Zwieferl,

Kurze Antwort: Ja, wenn du sie per Parameter in der Länge anpasst:

Vektor w = a·u + b·v .... a,b ∈ℝ

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