Frage von McLink, 37

Kleines Mathe Problem. Kann mir bitte jemand helfen:)?

Wir haben in Mathe gerade saß Thema quadratische Ergänzung. Nun habe ich ein paar Beispiele vor mir, weiß aber nicht wie man darauf kommt . Das erste Beispiel wäre -x^2+3x+2,5 fx= -1 (x^2-3x+2,25)+2,5+2,25 Warum muss ich an dieser Stelle +2,25 rechnen und nicht Minus?. Das 2. Beispiel wäre 1/2x^2+2x-3 1/2 (x^2+4x+4)-3-2 Wieso muss ich in diesem Fall Minus 2 rechnen und nicht -4. Es wäre sehr nett, wenn mir das jemand erklären könnte ^^. Ist keine Hausaufgabe. Ich will das nur selber verstehen. Vielen Dank schon mal

Antwort
von uncledolan, 6

Das Ziel dieser quadratischen Ergänzung ist, die binomische Formel ("rückwärts") anwenden zu können. In diesem Fall muss es die zweite binomische Formel sein, weil -x² (a²) und +3x (2ab) unterschiedliche Vorzeichen haben. Der umklammerte Teil soll ein mögliches Ergebnis der zweiten binomischen Formel (a-b)² = (a² - 2ab + b²) sein, für die es eine offensichtliche Lösung gibt. Das -x² muss ein positives Vorzeichen bekommen, weil das a² eine positive Zahl sein muss. Wenn man jetzt also mithilfe des Faktors (-1) dem x² in der Klammer ein positives Vorzeichen verschafft, hat man -1 * (x² - 3x + ...). Um das zu einem möglichen Ergebnis der zweiten binomischen Klammer zu machen, braucht man b². Wir wissen, dass 3x = 2ab --> 3x = 2xb --> 3x/2x = b --> b=1,5 ist, deshalb ist b² = 2,25. Jetzt musst du die das gesamte Ergebnis der zweiten binomischen Formel angucken:

-1*(x² - 3x + 2,25) = -x² + 3x - 2,25

Die gegebene Funktion ist aber

-x² + 3x + 2,5

Deshalb musst du zunächst die -2,25 ausgleichen, indem du außerhalb der Klammer +2,25 hinzufügst. Und dann die musst du noch die +2,5 mitnehmen, die in der Funktion noch vorgegeben und bisher ignoriert wurde, also das noch addieren.

Du hast also die gleiche, immer noch stimmende Funktion wie die vorher, nur in einer anderen Form aufgeschrieben:

f(x) = -1*(x² - 3x + 2,25) + 2,25 + 2,5

Für die Klammer kannst du jetzt die zweite binomische Formel "rückwärts" anwenden:

-1*(x² - 3x + 2,25) + 2,25 + 2,5 = -1*(x - 1,5)² + 2,25 + 2,5 = -(x - 1,5)² + 4,75

In der zweiten Aufgabe musst du dann genau so vorgehen.

http://www.formelsammlung-mathe.de/binomische-formeln.html




Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 2

Parabel f(x)=a2*x^2+a1*x+ao

Scheitelkoordinaten bei xs= - (a1)/(2 *a2) und ys= - (a1)^2/(4 *a2) + ao

Scheitelpunktform f(x)= a2 *(x - xs)^2 + ys

bei dir a2= - 1 und a1=3 und ao= 2,5

xs= - (3)/(2 *- 1)= 3/2 und ys= - (3)^2/(4 *-1) +2,5=4,74

eingesetzt f(x)= - 1 *(x - 3/2)^2 + 4,74

mit der quadratischenErgänzug

f(x)= - 1 *x^2 +3*x + 2,5 nun - 1 ausklammern

f(x)=-1 *( x^2 - 3 *x) + 2,5 binomische Formel anwenden

(x-b)^2= x^2-2*b *x +b^2 hier ist 2*b=3 also b=3/2 und b^2=9/4

f(x)= -1*(x^2 - 3 *x + 9/4 - 9/4) + 2,5 nun - 9/4 ausklammern

f(x)= - 1 *x^2 + 3 *x - 9/4 +9/4 + 2,5 nun die -1 ausklammern

f(x)= - 1 * (x^2 -3*x + 9/4) +9/4+2,5 binomische Formel anwenden

(x^2 - 2*b *x +b^2) = (x - b)^2  mit b=3/2 und b^2=9/4

f(x)= - 1 * (x - 3/2)^2 + 4,75

HINWEIS : Die quadratische Ergänzung ist +9/4 - 9/4

- 9/4 weil die Gleichung nicht verändert werden darf !

Beispiel :+ 2 - 2=0

Antwort
von jjooeeyy, 11

Hallo, was rechts in der Klammer entstanden ist, ist ja die binomische Formel (x-1,5)². Beim Ausrechnen das hintere Quadrat immer positiv. Um von der rechten Formel wieder auf das linke zu kommen, wurden ja alle notwendigen Zahlen hinzuaddiert. Verständlich?

Beim 2. Beispiel ist es genau das Gleiche.
1/2x^2+2x-3= 1/2(x^2+4x+4)-3-2. Wenn du die rechte Klammer ausmultiplizierst steht ja nicht +4 da, sondern 1/2*4=2. Deshalb steht hinten -2

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 8

bevor du die 2,25 aus der Klammer immst, muss sie mit -1 malgenommen werden; auch so -4 • 1/2

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