Frage von justtrying, 26

Kinetische Energie, potentielle Energie: Entsprechend die Ableitungen anderen physikalischen Größen?

Wenn ich jetzt die Gleichung zur Berechnung der kinetischen Energie nehme:

E = 1/2 m * v²

Dann sieht das für mich nach dem ersten Glied einer quadratischen Funktion aus (Funktion mit abhängiger Variable zu v).

Leite ich zweimal ab und leite dann wieder auf bis zur Energie, dann komme ich zu dem Ergebnis, dass die Gleichung zur Berechnung der kinetischen Energie

E(v) = 1/2 mv² + p(0) * v + E(0)

mit

p(0): Ruheimpuls E(0): Ruheenergie

Wobei die 1te Ableitung dem Impuls entspricht und die 2. Ableitung der Masse.

Letztlich dachte ich mir, dass das zweite und dritte Glied deshalb wegfallen, da man eine relative Betrachtung zum Beobachter hat und dementsprechend diese 0 werden.

Nehme ich jetzt die potentielle Energie und behandle sie als Funktion der Höhe,

dann ergibt sich mit der ersten Ableitung die Gewichtskraft.

Alles sinnlos und ich sehe Zusammenhänge die nicht da sind, oder sind diese richtig?

Antwort
von poseidon42, 8

Zunächst gelten folgende Zusammenhänge:

ds/dt = v(t)

dv/dt = a(t)

Damit gelten folgende Umstände:

p = m(t)*v(t)

--> dp/dt = m(t)*a(t) + m´(t)*v(t) = F(t)

für den Standardfall gilt m = const --> m´(t) = 0


Die verrichtete Arbeit über einen Weg berechnet man ja zu:

W = F*ds   für F = const.

Die Arbeit W entspricht dabei der Fläche unter der "Kraftkurve". Wir berechnen damit für eine veränderliche Kraft F(x):

W = Integral(s1, s2){ F(s)ds }

substituiere nun s = s(t) --> ds/dt = s´(t) = v(t)

--> W = Integral(t1, t2){ F(s(t))*v(t)dt}

nun benutzen wir: F(s(t)) = m*a(s(t))  (das heißt m = const.)

--> W = m* Integral(t1, t2){ a(s(t))*v(t)dt}

beachte an der Stelle:   dv/dt = a(t) = v´(t)

--> W = m* Integral(t1, t2){ v´(s(t))*v(t) dt}


mit v´(s(t)) = v´(t)

[ da v´(s(t)) ja die Beschleunigung am Ort s(t) zu einem Zeitpunkt t ist
 und v(t) die Änderung des Ortes ]

--> W = m* Integral(t1, t2){ v´(t)v(t) dt}

und nun solltest du nur noch wissen, dass gilt :

(v(t)^2)´ = 2
v´(t)v(t)  nach Kettenregel

und da das Integral die Umkehrung der Ableitung ist folgt:

--> W = m
(t1, t2)( 0,5* v(t)^2 )

--> W = m/2 *( v(t2)^2 - v(t1)^2 )

für v(t1) = 0  folgt dann die bekannte Formel:

Ekin = m/2 *v^2


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