Frage von Nolt123, 36

Kern bei einer linearen Abbildung mit einer einfachen Ableitung und einem Vektorraum von Polynomen?

Hi, ich wollte fragen wieso der Kern bei einer linearen Abbildung (bei der linearen Abb. handelt es sich um eine einfache Ableitung des Polynoms) die 0 ist? Denn der Dimension der Basis des Kernes ist ja die 1, und das heißt ja dass es alle reele Zahlen bzw die 1 ist die alle anderen erzeugen kann. Aber wieso ist denn nun 0 als Ergebnis der linearen Abbildung das Neutralelement dieses Polynomraumes? Oder liegt das daran dass die 0 im Polynomraum keine Änderungen an anderen Polynomen durchführt? Genauso wie in einer additiven Gruppe die 0 keine Änderungen an anderen ELementen durchführt?

Ist zwar bisschen abstrakt das ganze aber hoffe doch dass mir jemand meine erschlossenen Zusammenhänge bestätigen kann. DAnke im VOraus.

Antwort
von FataMorgana2010, 29

Ich versuche mal zu sortieren: 

V ist dein Vektorraum, der aus allen Polynomen über einen Körper K besteht. Dieser Vektorraum wird durch die einfache Ableitung auf sich selber abgebildet. Diese Abbildung ist linear. 

Der Kern dieser Abbildung ist das Urbild der Null des Vektorraums. Gemeint ist damit die Null der additiven Gruppe des Vektorraums (das siehst du richtig) - das ist selbstverständlich der Nullvektor und das wiederum ist das Polynom 0. 

Was wird auf diese 0 abgebildet? Naja, wie man das aus der Schule schon kennt, die Stammfunktion der Null ist eine beliebige Konstante. D. h. alle Polynome vom Grad 0 (und das sind faktisch alle Elemente des  Körpers, den ich als Grundlage der Polynome betrachte) liegen im Kern der Abbildung. 

Kommentar von Nolt123 ,

Ah stimmt hab da was durcheinander gebracht und völlig vergessen dass wir eine additive Gruppe im Vektorraum haben. Vielen dank nochmal.

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