Frage von xxLiiisaaXx, 18

Kennt sich jemand mit Mathematik - Studium aus?

Wann besitzen zwei Geraden g, h : ℝ → ℝ genau einen Schnittpunkt? Finden Sie ein Kriterium für die vier Parameter der Geraden und beweisen Sie es. Leiten Sie zudem im Fall der eindeutigen Existenz eine Formel für den Schnittpunkt her.

Ich habe keine Ahnung wie ich es am Besten aufschreibe

Antwort
von FuHuFu, 10

Es sei g(x) = m1 x + t1 und h(x) = m2 x + t2

Behauptung:
g und h besitzen genau dann einen eindeutigen Schnittpunkt wenn m1 ≠ m2 

Beweis:

1.) "==>"

Es sei P ( x0 | y0 ) der eindeutig bestimmte Schnittpunkt

Dann ist y0 = m1 x0 + t1 und y0 = m2 x0 + t2
Also ( m1 - m2 ) x0 = t2 - t1

Wenn m1 = m2 wäre, dann wäre 0 x0 = t2 - t1, also t1 = t2
Damit wären Geraden identisch. Widerspruch zur Eindeutigkeit des Schnittpunkts, also m1 ≠ m2

2.) "<=="

Es sei m1 ≠ m2. Dann ergibt sich durch Gleichsetzen der beiden Geraden

m1 x + t1 = m2 x + t2
(m1-m2) x = t2-t1                   |: (m1-m2) Division erlaubt, da m1≠m2
x = (t2-t1)/(m1-m2)

einsetzen:
y = m1(t2-t1)/(m1-m2) + t1

Also ist P ( (t2-t1)/(m1-m2) | m1(t2-t1)/(m1-m2) + t1 ) eindeutig bestimmter Schnittpunkt.

Q.E.D.

Antwort
von SuperDivinus, 11

Schau nach: Lagebeziehung zweier Gerade. Sie sind parallel ,windschief oder sie schneiden sich in allen punkten, dann identisch oder sie schneiden sich in einem punkt, dann schneidend. kriterium: mindestens ein punkt existiert für den alle werte gleich sind.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 4

Bist du sicher, dass das aus dem Mathematik-Studium ist?!

Oder hast du den Teil der Aufgabenstellung ausgelassen, wo g und h als die Graphen von ℝ→ℝ-Funktionen erklärt werden?

Normalerweise würden Geraden in solchen Fällen entweder als Teilmengen von ℝ² definiert oder (wie gesagt) als Graphen von ℝ→ℝ-Funktionen (und damit wieder als Teilmengen von ℝ²).

In welcher Form sind die Geradengleichungen bzw. Funktionen gegeben?

Nehmen wir mal an, als

g1: y = m1 x + b1

g2: y = m2 x + b2

(Ich habe hier g durch g1 und h durch g2 ersetzt, um eine einheitlichere Notation zu haben. Es ginge natürlich auch

g: y = m x + b

h: y = n x + c

)

Ein Punkt aus ℝ² ist genau dann gemeinsamer Punkt ("Schnittpunkt") der Geraden, wenn er seine Koordinaten beide Geradengleichungen erfüllen.

Das einfachste und eleganteste ist jetzt, du erinnerst dich an die Theorie der linearen Gleichugnssysteme (beide Gleichungen sind ja linear) und bestimmst mit den dortigen Methoden, wann das Gleichungssystem keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat.

Sonst versuchst du, es mit Mittelstufenmethoden zu lösen, und machst die entsprechenden Fallunterscheidungen für den Einzelfall.

Antwort
von Kingfrosch, 13

wenn der anstieg ungleich ist. also m1 ungleich m2

Du stellst einfach zwei geradengleichungen mit m1 m2 b1 und b2 auf und setzt die gleich.

Damit kriegst du die formel für den Schnittpunkt. daraus kannst du ablesen unter welchen bedingungen es nur einen schnittpunkt gäbe.

es ist gleichzeitig der beweiß. Typisch bei solchen aufgaben ist meißt das der Lösungsansatz nach der Aufgabenstellung für den beweises bei solchen Aufgaben kommt.


viel Spaß

Kommentar von surbahar53 ,

Das gilt nur für Geraden im 2D-Raum.

Kommentar von Kingfrosch ,

stimmt. Aber die beweißform bleibt gleich. (hier steht doch vier Parameter von GeradEN, ist doch dann 2D oder nicht?)

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