Frage von CaptainlMorgan, 31

Kennt sich jemand mit Integralrechnung aus?

Ich schreibe am Dienstag ne Matheklausur zum Thema Integralrechnung. Ich komm mit dem Thema ganz gut klar, nur verstehe ich nicht, wann man für eine Funktion die Nullstellen ausrechnen muss. Gibt es da eine Regel, kann man das an der Funktion erkennen?
Freue mich über jede Hilfe!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 8

Hallo,

Du mußt beim Integrieren die Nullstellen bestimmen, damit Du weißt, wo der Graph innerhalb des Intervalls, dessen Fläche Du bestimmen sollst, oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt.

Unterhalb der x-Achse wird die Fläche negativ.

Hast Du also einen Funktionsgraphen, der innerhalb eines gegebenen Intervalls teilweise über und teilweise unter der x-Achse verläuft, mußt Du stückweise integrieren. Zunächst von der unteren Grenze des Intervalls bis zur ersten Nullstelle, von da bis zur nächsten (falls vorhanden) und zur übernächsten usw., bis Du schleißlich von der letzten Nullstelle bis zur oberen Grenze des Intervalls integrierst. Wenn Du nun die Beträge der so erhaltenen Teilflächen addierst, bekommst Du die Gesamtfläche heraus. Integrierst Du dagegen in einem Stück durch, bekommst Du einen falschen Wert heraus, weil die Flächen unterhalb der x-Achse von denen oberhalb der x-Achse automatisch abgezogen werden.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von CaptainlMorgan ,

Das heißt, ich bekomme z.B. 3 Nullstellen -2; 0; 2
Dann berechne ich das Integral von -2 bis 0 und dann 0 bis 2.
Und addiere diese dann?

Kommentar von Willy1729 ,

Wie sind denn Deine Integralgrenzen? Wenn die von -2 bis 2 gehen, stimmt das im Prinzip. Du mußt allerdings die Beträge addieren. Wenn Du eine negative Fläche herausbekommst, machst Du daraus vor dem Addieren eine positive.

Sind die Integralgrenzen -3 bis +3, integrierst Du von -3 bis -2, dann von -2 bis 0, dann von 0 bis 2 und schließlich von 2 bis 3.

Ist die Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch und liegen die Integralgrenzen symmetrisch zum Nullpunkt, reicht es, das Spielchen nur von 0 bis zur oberen Grenze zu machen und die so erhaltene Fläche dann zu verdoppeln.

Willy

Kommentar von Adamantan ,

Das muss er aber eben nur tun, wenn die Fläche gesucht ist und nicht das Integral.

Antwort
von Adamantan, 9

Hallo,

die Regel gibt es UND sie ist ganz einfach. Das Integral berechnet nicht die Fläche, sondern die Flächenbilanz. Das heißt, dass Flächen unterhalb der x-Achse mit negativem Vorzeichen in die Rechnung eingehen (simples Beispiel:
Berechne mal das Integral f(x) = x²-4 im Intervall [0;2] oder f(x) = x³ von -2 bis 2). Wenn es also darum geht, die Fläche zu berechnen, die ein Graph mit der x-Achse eingeht, dann musst du von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und dann die Beträge der Integrale addieren. Somit gehen dann auch Flächen unterhalb der x-Achse als positive WERTE IN Das Ergebnis ein.

Alles klar?

Kommentar von CaptainlMorgan ,

Muss ich das bei allen Funktionen machen? Ich meine wir haben auch oft genug Integrale berechnet ohne vorher nach dem Nullstellen zu gucken.

Kommentar von rumar ,

Kommt eben darauf an, was genau gefragt ist. Deshalb ist es (fast) immer sinnvoll bzw. notwendig, sich den Verlauf des betreffenden Funktionsgraphen anschaulich klar zu machen (wenigstens skizzenhaft), bevor man quasi blindlings in ein gelerntes Integrationsschema einsetzt !

Kommentar von Adamantan ,

Wenn das INTEGRAL gefragt ist: Nein. Wenn Du die Fläche suchst: Ja

Antwort
von Roderic, 8

Das kommt auf die konkrete Aufgabenstellung drauf an.

Kommentar von Adamantan ,

Super hilfreiche Antwort...

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