Frage von Enyang, 94

Kennt sich jemand mit der relativitätstheorie aus?

Die Zuggeschwindigkeit ist 180km/s. Am Bahndamm stehen 2 Personen A und B im Abstand von 100000km. Zur Zeit t(a)=t(b)=1s bespritzen beide mit Tintenpistolen den Zug. Welche Entfernung der beiden Tintenflecken stellen die Reisenden im Zug fest?

ich habe als lösungvorschläge 80000km und 125000km. Aber ich weiß nicht welcher davon der richtige ist :/

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 20

Wenn Du dies liest, habe ich es nach mehreren Versuchen endlich geschafft, diese Antwort posten zu lassen:

Die Abweichung von den genannten 10^⁵km müsste bei den genannten 180km/s viel geringer ausfallen, egal ob sie nach oben oder nach unten erfolgt, denn das ist zwar sehr schnell für einen Zug (3 mal so schnell wie die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne), aber nur 6E-04c.

Wahrscheinlich meinst Du eher 180Mm/s (Mm heißt "Megameter" 1Mm=1000km), und das wären 0,6c. Der Lorentzfaktor 𝛄 bei dieser Geschwindigkeit wäre dann immerhin =1,25.
Wie groß die Abweichung ist, ist für das Prinzip aber einerlei; ich weiß, worauf Du hinaus willst, nämlich auf folgende Frage:

1. Im System des Bahndamms, in dem A und B ruhen, ist der Zug um den Faktor 𝛄⁻¹=0,8 verkürzt. Die Reisenden, die davon nichts merken, müssen also einen größeren Abstand der Tintenflecken sehen als der Abstand zwischen A und B es suggeriert, also 125Mm.

2. Im Zugsystem, in dem der Zug wie auf einem riesigen Laufband gegen die Bewegung des Bahndammsystems anrollt und so an Ort und Stelle bleibt, ist die Strecke zwischen A und B um 0,8 verkürzt. Der Abstand zwischen ihnen beträgt also nicht 100Mm, sondern nur 80Mm, und das sollte auch der Abstand zwischen den Flecken sein.

Was stimmt denn nun, und ist das nicht ein Widerspruch?

Gegenfrage: Du sagst, A und B sprühen gleichzeitig. Bezieht sich diese Gleichzeitigkeit nun auf das Bahndamm-Ruhesystem oder auf das Zugsystem? Das ist nämlich nicht dasselbe. Dieses als Relativität der Gleichzeitigkeit bekannte Phänomen wird gern außer Acht gelassen, wenn von unterschiedlich schnell gehenden Uhren gesprochen und sich darüber gewundert wird, dass zwei Uhren wechselseitig verlangsamt sein können sollen. Dabei ist die Relativität der Gleichzeitigkeit größer als der Lorentzfaktor. Sie löst jedes der berüchtigten SRT-Paradoxa in Wohlgefallen auf.

Das oberste Prinzip der SRT ist das Relativitätsprinzip von Galilei, angewandt auf die Elektrodynamik. Das impliziert, dass sich elektromagnetische Wellen (und damit Lichtwellen) in jedem Bezugssystem (also dem Koordinatensystem, das man als ruhend betrachtet und auf das man Bewegung bezieht) isotrop mit c ausbreiten.

Angenommen, auf 50Mm steht ein dritter Beobachter C an einem Bahnhof, an dem der Zug nicht hält. In genau dem Moment, in dem der A und B sprühen sieht (also kurz nachdem sie es getan haben) fährt ein Reisender D an ihm vorbei und sieht ebenfalls A und B selbstverständlich ebenfalls in diesem Moment sprühen.

Nimmt D allerdings an, dass sich das Bahndammsystem mit 0,6c bewegt und der Zug nur dagegen anrollt, so kommt er zu dem Schluss, dass A früher gesprüht haben muss als B, denn A nähert sich und war daher beim Sprühen weiter entfernt, während B sich entfernt und daher näher war, als er gesprüht hat. In der Zwischenzeit ist der Zug natürlich weitergefahren und hat den vorderen Tintenfleck weiter nach vorn getragen, ehe der hintere Tintenfleck dazu kam. Deshalb ist in diesem Szenario die erste Antwort richtig.

--

Eine kleine Bemerkung am Schluss: Ein Mitreisender im Zug muss diesen nicht als ruhend betrachten und somit auch nicht unbedingt annehmen, dass sich relativ zu ihm Licht in alle Richtungen mit c bewegt, er kann auch das Bahndammsystem als Bezugssystem benutzen.

Kommentar von Enyang ,

erstmal, vielen Dank für Ihre Mühe! Heißt es, beide Lösungen wären plausibel? Ich habe die Formel der Längenkontraktion im Kopf:

L = L' * Verkürzungsfaktor(0,8)

Mir ist nicht ganz geworden, was L und was L' ist. Könnten Sie die beiden so definieren, sodass sie alle Fälle funktionieren? In diesem Fall habe ich gedacht, dass L' die gemessene Länge am Bahndamm sein muss, weil die Reisenden im Zug diese 100mM verkürzt wahrnehmen müssten, so habe ich es angenommen. 

Kommentar von SlowPhil ,

Heißt es, beide Lösungen wären plausibel?

Nein, jedenfalls nicht in dem Sinne, dass es quasi vom Zufall abhinge, welche der beiden Lösungen richtig ist.

Der Casus Knacktus ist das Wort "gleichzeitig" in Bezug auf die Sprühaktionen von A und B. Und was "gleichzeitig" bedeutet, ist Interpretationssache: Es hängt davon ab, welches Koordiatensystem als ruhend gilt.

Zwei spezielle Interpretationen (längst nicht die einzig möglichen, aber es sind die, auf die es ankommt) sind die dass

(i)  das Bahndammsystem ruht und der Zug sich mit v⃗=(0,6c;0;0) (wir verwenden zweckmäßigerweise ein Koordinatensystem, in dem die x-Richtung die der Relativbewegung zwischen Zug und Bahndamm ist) bewegt, oder

(ii) das Bahndammsystem sich wie ein riesiges Laufband mit -v⃗=(-0,6c;0;0) und der Zug dagegen hält.

In beiden Fällen laufen die Uhren von A und B (sowie C, der genau zwischen den beiden steht) isochron, d.h. sie laufen gleich schnell, denn A, B und C bewegen sich relativ zueinander nicht. Wenn sie im Bahndammsystem auch synchron laufen, d.h. 𝛥t=t_A−t_B=0 gilt, ist das in anderen Koordinatensystemen im Allgemeinen nicht der Fall.

Weiteres gleich.

Kommentar von SlowPhil ,

Fortsetzung:

Sorry, ich habe das Wort "gleich" ziemlich gedehnt.

Heißt es, beide Lösungen wären plausibel?

Zwei Uhren synchronisieren kann man entweder mit Hilfe von Lichtsignalen oder indem man sie zunächst zusammenbringt und nach der Synchronisation wieder trennt. Dann freilich werden sie, je nachdem, welches System man zum Bezugssystem gekürt hat, ggf. unterschiedlich schnell und damit wieder asynchron laufen.

Beispiel: Im Zug befinden sich zwei Uhren U1, U2. Sie werden synchronisiert und anschließend getrennt, z.B. U1 nach vorn und U2 nach hinten verschoben, und zwar gleich schnell und gleich weit. So bleiben sie mit dem Zug als Bezugssystem synchron.
Mit dem Bahndamm als Bezugssystem sieht das anders aus: U1 bewegt sich zeitweise schneller, U2 langsamer als mit v.

Am Ende wird U1 im Bahndammsystem gegenüber U2 nachgehen; wie weit, hängt interessanterweise nur davon ab, wie weit die Uhren verschoben werden, nicht davon, wie schnell dies geschieht. Die Lorentz-Transformationen tragen dem Rechnung, sie lauten für die Zeit:

𝑡'=𝛾(𝑡−𝑣𝑥/c²), 𝑡=𝛾(𝑡'+𝑣𝑥'/c²)=𝛾(𝑡'−(−𝑣)𝑥'/c²)

Was was ist, hängt davon ab, welches als v und welches als -v zu verstehen ist. Da wir gesagt haben, dass sich der Zug gegenüber dem Bahndamm mit +v bewege, ist {t',x'} das Ruhesystem K' des Zuges und {t,x} das Ruhesystem K des Bahndamms (y'=y und z'=z habe ich weggelassen).

Es ist anzunehmen, dass A und B ihre Uhren in Bezug auf K und nicht etwa in Bezug auf K' synchronisieren; in diesem Fall werden sie in Bezug auf K nicht synchron laufen, und dies wollen wir jetzt ausrechnen. Wenn wir nun t=0 den Zeitpunkt nennen, bei dem A und B Tinte auf den Zug spritzen, und x(A, t=0)=0 setzen, ist

t'(B, t=0)=𝛾(𝑡−𝑣𝑥/c²)=1,25*(0−0,6*1/3s)=-0,25s,

was heißt, dass B in K' eine Viertelsekunde vorher sprüht als A. In der Zeit fährt der Zug natürlich knapp 45 Mm weiter, und diese Strecke kommt zu den 80Mm Abstand zwischen A und B in K' dazu. Der Abstand ist also 125Mm.

Antwort
von Raph101, 30

Die Formel für die Lorenztransformation hernehmen, werte einsetzten und den kleineren Eert nehmen. :)

Antwort
von Kaenguruh, 46

Ich komme auf 99999,982 km. Ich verwende die Formel für die Lorentzkontraktion der Länge l' = l * √(1-v^2/c^2) = 100000*√(1-180^2/300000^2) km

Kommentar von Enyang ,

das haben wir noch nicht gelernt, deshalb haben wir nur die lorentz transformation, längenkontraktion und zeitdilatation zur verfügung :/ aber von der theorie her müsste der reisende im zug weniger als 100000 km wahrnehmen oder nicht?

Kommentar von Kaenguruh ,

Ja, und die Längenkontraktion, die Du schon kennst, ist genau das, was ich meine, dh meine Formel ist genau die richtige. Ob Du jetzt Längenkontraktion oder Lorentzkontraktion dazu sagst ist egal. Der Unterschied zur Ruhelänge ist also gar nicht so groß bei dieser Geschwindigkeit.

Kommentar von SlowPhil ,

Ich vermute aber, Enyang meint 180Mm/s=0,6c (s.u.), da man damit besonders komfortabel rechnen kann (Stichwort "primitive pytagoräische Tripel": 3²+4²=5²). Zumindest haben die Leute. die den Lösungsvorschlag gemacht haben, das offenbar so aufgefasst.

Kommentar von SlowPhil ,

Wären wirklich 180 km/s gemeint, wäre der Zug tatsächlich um diesen Betrag verkürzt. Im System der Fahrgäste sind dann die Flecken allerdings 10⁵/√{1-3,6E-7} ≈ 10⁵∙(1+1,8E-7) = 100000,018 km voneinander entfernt, wenn A und B - im Bahndammsystem - gleichzeitig sprühen. Natürlich kann man den Zug auch als ruhend betrachten, dann haben A und B einen um 18m kürzeren Abstand, aber B sprüht im Zugsystem früher als A (ich habe angenommen, dass A derjenige ist, der den Zug zuerst passiert oder umgekehrt).

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