Frage von Charliestern, 23

Kennt jemand eine passende Formel zum Bestimmen des Abstandes?

Also ich hab folgendes Problem und zwar hab ich die Aufgabenstellung: Die Koordinatenachsen des Koordinatensystems stellen zwei geradlinig verlaufende Straßen dar, die sich orthogonal kreuzen. Die beiden Straßen sind durch einen schmalen Radweg verbunden, der sich näherungsweise durch die Funktion f(x)=1/18x^2 -10/3x +50 beschreiben lässt (Einheiten in Meter). Der Radweg mündet in den Punkten A und B in die Straßen, wobei A den Schnittpunkt von f(x) mit der y-Achse darstellt.

a) Unter welchem Winkel geht der Radweg im Punkt A in die Straße über ?

b) Ein Gebäude in der Nähe des Fahrradweges hat eine kreisförmige Grundfläche mit dem Mittelpunkt M(25/30) und dem Durchmesser 20 m. An welcher Stelle des Fahrradweges ist der Abstand zu diesem Gebäude am kleinsten ? Wie groß ist dieser Abstand ?

Also a ist ja easy da kommt gerundet -73,3 Grad raus. (hoffe ich^^)

Mit b kann ich jedoch wenig anfangen. Ich versteh einfach nicht wie ich den Punkt mit dem kleinsten Abstand finde... Ich hab mir überlegt, dass man eventuell den Abstand als Funktion oder wohl eher Gleichung(?) angibt und dann die Ableitung bestimmt und dann gleich 0 setzt aber ich komm einfach auf keine Abstandsformel... :/

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von poseidon42, 13

Also du hast M=(25 | 30) und die Funktion f(x) = 1/18x^2 -10/3x +50

gegeben. Nun sollte man sich zu Anfang erst einmal Gedanken machen, wie man denn den Abstand zweier Punkte im 2-Dimensionalen Raum bestimmen kann. Vereinfachen wir das Problem einfach mal auf die 2 Punkte P1 = ( a | b) und P2 = (c | d). c und a sind dabei die jeweiligen X-Werte und b und d die jeweiligen Y-Werte. Wir vereinfachen das Problem noch mehr und betrachten nur 1-D Entfernungen für die X und Y Dimension. 

X-Dimension: Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Punkten?

Es ist die Differenz aus beiden, man stelle sich hierzu eine Linie vor, auf dieser Linie liegen die beiden Punkte, so ist die Entfernung von den beiden zueinander doch die Differenz aus den beiden x-Werten, nennen wir es mal, da es sich ja um eine Differenz handelt, diese delta x und kürzen es mit einem dx ab. Es gilt also:

dx = c - a

Analog verfahren wir nun in der Y-Dimension:

dy = d - b

Was hat uns dass nun gebracht? Wir können diese Abstände in unser 2-Dimensionales Koordinatensystem übernehmen. Dabei ist der Abstand dx als eine parallele Gerade zur X-Achse mit Anfangspunkt in dem "linken Punkt" und der Länge dx einzuzeichnen. (Würdest du also die Y-Werte beider Punkte vernachlässigen hättest du wieder exakt die Darstellung in der X-Dimension)

Bei dem Abstand in Y-Richtung verfahren wir einfach analog, eine Gerade parallel zur Y-Achse mit der Länge dy und Anfangspunkt in dem "linken" Punkt.

Das heißt wir haben jetzt unsere eindimensionalen Verbindungslinien in das Koordinatensystem eingetragen ohne vorerst die jeweils andere Dimension zu berücksichtigen. Aber wir wollen ja den Abstand in 2-Dimensionen haben und wie du dir sicherlich denken kannst ist der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten eine Gerade. Zeichne nun eben diese Verbindung mal ein und wir die Länge von dieser nennen wir nun r, der kürzeste Abstand. Wie dir an diesem Punkt auffallen sollte, so bilden die Strecken dx, dy und r ein rechtwinkliges Dreieck. Mithilfe des Satzes vom Pythagoras sind wir nun in der Lage die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreieckes, r, zu berechnen, da wir bei Ankatheten kennen. Daher lautet nun unsere Formel für den Abstand r:

r ² = dy² + dx²   II  (...)^(1/2)  (Quadratwurzel)

r = ( dy² + dx² )^(1/2)

Und damit haben wir unsere Formel zur Berechnung des Abstandes zweier Punkte hergeleitet. Durch einsetzen erhalten wir also:

r = ( (c - a)² + (d - b)² )^(1/2) 

Durch das Quadrat über dy und dx ist es nun übrigens vollkommen egal ob die Differenz der jeweiligen Werte positiv oder negativ sind. 

So nun wollen wir dies auf unser Endproblem, deine Aufgabe übertragen. Das heißt wir müssen nun zuerst mal dy und dx bestimmen. Dabei brauchen wir nur analog wie zuvor verfahren:

dx = c - a   II Differenz der X-Werte 

----> dx = x - 25   II Differenz der X-Werte der Punkte M und P = (x | f(x))

dy = d - b

----> dy = f(x) - 30 = 1/18x^2 -10/3x +50 - 30 = 1/18x^2 -10/3x + 20

Damit lautet also unsere Formel für den Abstand:

r = ( dy² + dx² )^(1/2) II  dx = x - 25

r = ( dy² + (x - 25)² )^(1/2)      II dy = 1/18x^2 -10/3x + 20

r = ( (1/18x^2 -10/3x + 20)² + (x - 25)² )^(1/2)

Das heißt wenn du von dieser Funktion des Abstandes r(x) das Minimum findest, bist du in der Lage den kürzesten Abstand zu berechnen. 

Kommentar von Charliestern ,

Danke!!!! Voll ausführlich :D (y)

Antwort
von Mathestiv, 23

Du kannst den Abstand aufteilen in x- und y-Richtung (mit Satz des Pythagoras). Der Abstand d zwischen den Punkten P(x|f(x)) und M(25|30) kannst du ausrechnen über d² = (x-25)²+(f(x)-30)². Dann musst du noch 20 wegen dem Radius abziehen und kommst auf d(x).

Kommentar von Charliestern ,

oki danke! Aber noch eine Frage ^^ und zwar wie komm ich denn jetzt aus das x und f(x) :/

Kommentar von Mathestiv ,

Für f(x) setzt du die gegebene Funktion ein. Damit erhältst du den Abstand nur in Abhängigkeit von x (also eine Funktion d(x)). Das kannst du ableiten und dann gleich 0 setzen, sodass du auf das Minimum kommst.

Kommentar von Charliestern ,

Danke!!!

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