Kennt jemand den Grund, warum die Matrizenmultiplikation so definiert wurde, wie wir sie heute haben?

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3 Antworten

Ja, diese "Matrizenmultiplikation" gibt es, das ist einfach das karthesische Produkt.

Wenn du also (sagen wir mal reelle) Matrizen mit m Zeilen und n Spalten hast, und elementweise Multiplikation als Multiplikation definierst, dann ist das einfach der Ring R^(n * m). Ringe dieser Form wurden natürlich auch untersucht, aber die alternative Multiplikation "Matrizenmultiplikation" hat sich an manchen Stellen einfach als nützlicher erwiesen.

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Kommentar von Roach5
14.03.2016, 17:00

Soviel zur Tatsache, dass es auch mehrere "unspannendere" Arten gibt, Matrizenmultiplikation zu definieren. Ein wichtiger Grund, warum gerade diese Multiplikation überall auftaucht ist folgende:

Sei V ein Vektorraum mit endlicher Dimension n. Sei f: V -> V eine lineare Abbildung. Dann existieren für alle Basen B und B' von V (n,n)-Matrizen Mat(B,B'), sodass f(x) = Mat(B,B')x, wobei x in Basis B gegeben ist und der Funktionswert f(x) in Basis B'.

Bedeutet: Egal in welchen Koordinatensystemen du deinen Vektorraum gerade darstellst, du bekommst immer eine Basis, sodass dir die Matrizenmultiplikation den Funktionswert gibt. Das schöne daran ist, dass es für JEDE lineare Abbildung gilt (Abbildungen, für die gilt: f(0) = 0 und f(ax + x') = a f(x) + f(x')).

Lineare Abbildungen findest du überall, wo Proportionen zwischen zwei Dingen herrschen. Wenn die Anzahl an Kindern proportional zur Population ist (eine denkbare Annahme), kann sich die Veränderung der Population in einem Land mit linearen Abbildungen simulieren. Die ganzen Anwendungen kennst du wahrscheinlich eh schon, ich wollte dich nur noch einmal daran erinnern, wie wichtig diese Tatsache ist, dass überall, wo lineare Abbildungen sind, auch Matrizen sind.

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Reine Zweckmäßigkeit.
Die Definition deckt sogar die Populationenen von Maden od. dgl. ab.

Scherz beiseite. Sie genügt formalen Axiomen der Mathematik und ist durchaus wohldefiniert. Wie ja auch die Vektormultiplikationen.

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Kommentar von SirMahoney
14.03.2016, 16:16

Ich hab auch an die Gruppeneigenschaften gedacht, aber die hätte man ja auch anders definieren können - dann hätte man sogar die Kommutativität mit rein bringen können.

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Wenn du den praktischen Nutzen der Matrizenmultiplikation kennst, verstehe ich die Frage nicht so ganz. Die Anwendungen sind ja nur dann möglich, wenn man die Matrizenmultiplikation so oder ähnlich definiert.

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Kommentar von SirMahoney
14.03.2016, 16:18

Eventuell gab es ja auch andere Überlegungen - ich würde halt gerne mehr zum historischen Hintergrund wissen.

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