Frage von DepravedGirl, 79

Kennt ihr eine möglichst einfache, bequeme und schöne Formel um ganzzahlige Potenzen der imaginären Einheit schnell zu berechnen?

Ich weiß wie man es mit einfachen Potenzen durch ausmultiplizieren berechnet.

i ^ 2 = -1

i ^ 3 = -1 * i = -i

i ^ 4 = i ^ 2 * i ^ 2 = -1 * -1 = 1

usw.

Aber was ist wenn ich zum Beispiel i ^ 7727 ausrechnen will, ein bisschen umständlich das auszumultiplizieren.

Wie man es mit einem selbstgeschriebenen Computerprogramm ausrechnet weiß ich ebenfalls.

Was ist die einfachste, bequemste, schönste und schnellste Formel um das per Hand, also ohne Computer, auszurechnen ?

Ein einfacher 08 / 15 - Taschenrechner darf es sein, aber kein programmierbarer !

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von poseidon42, 39

1.  Ist der Exponent gerade oder ungerade ?

2. 

Im Falle das der Exponent ungerade ist, subtrahiere 1 von dem Exponenten.

Im Falle das der Exponent gerade ist mache nichts.

3. 

Im Falle das der Exponent zuvor ungerade war:

Teile nun den Exponenten, der zuvor um 1 verringert wurde, durch 2.

Im Falle das der Exponent zuvor gerade war:

Teile nun den Exponenten durch 2.

4. 

Im Falle des anfangs ungeraden Exponenten:

Ist das Ergebnis gerade, so ist das Ergebnis: i

Ist das Ergebnis ungerade, so ist das Ergebnis: -i

Im Falle des anfangs geraden Exponenten:

Ist das Ergebnis gerade, so lautet das Ergebnis: 1

Ist das Ergebnis ungerade, so lautet das Ergebnis: -1

Um das zu verstehen gilt es nur 2 Dinge zu berücksichtigen:

i^2 = -1

i^3 = i^2  *i

Also angenommen wir haben eine komplexe Zahl der Gestalt:

z = i^x    

So hat sie entweder die Form:

z = i^(2x+1)    oder   z = i^(2x)     mit x Element der natürlichen Zahlen

Für den ersten Fall (ungerade) ließe sich das schreiben als:

z = i^(2x+1) = i^2x  * i^1 = (i^2)^x  *i = (-1)^x *i 

Für den zweiten Fall (gerade) ließe sich das schreiben als:

z = i^2x = (i^2)^x = (-1)^x  

Und nun gilt es sich nur noch zu erinnern, dass gilt:

(-1)^y = 1   für y = eine gerade Zahl

(-1)^y = -1 für y = eine ungerade Zahl 

Auf diese Art und Weise lässt sich also schnell berechnen wie das ganze aussieht. 

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine umfangreiche Antwort !

Kommentar von poseidon42 ,

Wenn man das auf dein Beispiel anwendet:

i^7727 = i^7726  *i  = (i^2)^(3500+350+13) *i = (-1)*i 

Da in der Summe 3500+350+13 nur eine Zahl vorkommt die nicht durch 2 teilbar ist, die 13, ist die Summe ungerade. Insgesamt fällt mir gerade daran auf, dass du eigentlich bei der ganzen Sache nur die letzen beiden Ziffern betrachten musst, was das Problem noch viel mehr vereinfacht, da man den Exponenten ja schreiben kann als:

7726 = 7*10^3 + 7*10^2 + 2*10^1 + 6*10^0 

Das bedeutet ja für den Fall, dass man durch 2 dividiert:

7726/2 = (7*10^3 + 7*10^2 + 2*10^1 + 6*10^0)/2 

= 7*5*10^2 + 7*5*10^1 + 2*5*10^0 + 6*5*10^(-1)

Das bedeutet ja nichts anderes als das die Ziffern welche mit 10^x mit x>=1 multipliziert werden gerade Zahlen sind (10 = 2*5). Das heißt wenn überhaupt können ja nur Zahlen die nicht von vornherein mit einer 2 multipliziert werden (10^0 , 10^-1) ungerade werden.
Und das wiederum würde bedeuteten, dass man sich bei einer Zahl:

(die zuvor ungerade war und nun um 1 verringert wurde)

WXYZ = W*10^3 + X*10^2 + Y*10^1 + Z*10^0

Nur die letzen beiden Ziffern anschauen musst, Y und Z. Dann müsstest du also eigentlich nur schauen ob gilt:

(Y*5+z/2) = gerade oder ungerade 

Dabei gilt dann für y und z:

- y Element der Menge [0:9]

- z Element der Menge {0, 2, 4, 6, 8}

Das war vielleicht von Anfang an offensichtlich, ist mir aber ehrlich gesagt gerade erst aufgefallen. Also in überarbeiteter Form würde das ganze also lauten:


1.   Ist der Exponent gerade oder ungerade

2. 

Ist der Exponent gerade, so verfahre wie zuvor beschrieben

    [ durch 2 Teilen, gerade --> 1 , ungerade -->-1]


Ist der Exponent ungerade, so subtrahiere 1 und fahre wie folgt fort.

3.

Betrachte die letzen beiden Ziffern  des Exponenten der Form:

...XYZ    , wobei die Y und Z die letzten beiden Ziffern sind und setze 

sie in folgende Formel ein: 

(Y*5+z/2) = µ 

4.

Ist µ gerade ----> Ergebnis = i

Ist µ ungerade -----> Ergebnis = -i 


Ich hoffe man konnte dem mehr oder minder folgen.


Kommentar von DepravedGirl ,

Ja, ich habe deine Antwort genau verstanden gehabt.

Vielen Dank für die Extraausführungen in deinem Kommentar.

Antwort
von Roach5, 51

Modulorechnung ist mal wieder ganz weit vorne in der Anwendung! ;)

Angenommen du hast n gegeben und willst i^n berechnen. Der Divisionssatz sagt uns sofort, dass es eine Zahl 0 ≤ k < 4 gibt, sodass n = 4x + k für eine ganze Zahl x. Daraus folgt, dass i^n = i^(4x + k) = (i^4)^x * i^k = 1 * i^k.

Es folgt also, dass i^n = 1, i, -1, -i wenn k = 0, 1, 2, 3.

Dieses k bekommst du als Rest, wenn du ganzzahlig n durch 4 dividierst, dafür brauchst du O(log(n)) Rechenschritte, besser geht es glaube ich nicht und dividieren per Hand kann ja jeder.

LG

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine ausgezeichnete Antwort !

Kommentar von Roach5 ,

Zu deinem Beispiel: 7727/4 = 1931 Rest 3, also ist i^7727 = -i.

LG

Kommentar von PWolff ,

Wenn man die Zahl im Zehnersystem vorliegen hat, reicht es, die letzten beiden Ziffern zu betrachten, da 100 durch 4 teilbar ist.

Kommentar von Roach5 ,

Stimmt, daran hatte ich garnicht gedacht! Das macht das Errechnen natürlich unglaublich viel einfacher, ich denke für die meisten Anwendungen hat man die Zahlen im Binärsystem oder Dezimalsystem, in beiden klappt dieser Trick.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 34

Aus den Mathe-Formelbuch Kapitel Potenzen der imaginären Einheit j

j^(4 *k) = + 1 mit k ganze Zahlen

j^(4 *k+1)= j

j^(4 *k+2)= - 1

j^(4*k+3)=- j 

und j^0=1 und j^1=1 und j^2=- 1 und j^3= - j und j^4= + 1

j^-1= -j und j^-2= - 1 und j^-3= j und j^-4 = + 1

Quelle :Taschenbuch Mathematischer Formeln Bartsch,Verlag Harri Deutsch

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Kommentar von fjf100 ,

gern geschehen !! Kann ich nicht toll abschreiben ?

Kommentar von DepravedGirl ,

Das lustige daran ist, dass ich dieses Buch zu Hause selber besitze, aber zu dumm war auf die Idee zu kommen darin nachzuschlagen ;-))

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community