Frage von HayvanHabibi, 27

Kennt einer die lösung mit rechenweg?

Bestimme die lösung des gleichungssystems 1 Y= - - x +4 2 2x+4y=1

Antwort
von Freezo, 8

Ich nehme mal an du hast bei der ersten Gleichung ein - zu viel gesetzt:

1. y = -x + 4 -> ist bereits nach einer Unbekannten umgestellt, also in 2. einsetzen
2. 2x + 4y = 1

2x + 4*(-x + 4) = 1 -> nach x umstellen

x = 15/2 -> in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen

y = - (15/2) + 4 = - 7/2

fertig.

Antwort
von poseidon42, 6

Leider sind deine Gleichungen nicht gut lesbar. An der Stelle gebe ich dir einfach eine Lösungsformel für solche Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und Unbekannten:

I)  y = ax + b

II)  y = cx + d 

mit den Konstanten Zahlen a,b,c und d.

Nun bringen wir das ganze auf eine leicht andere Form:

I)  y = ax + b   II -ax

I) -> III): b = y - ax


II)  y = cx + d  II -cx

II) --> IV): y - cx = d

Wir haben jetzt also:


III): b = y - ax

IV): d = y - cx

Nun lässt sich das Schreiben als:

(b , d)^T = {{-a, 1}, {-c , 1}} * (x, y)^T

mit der 2x2 Matrix:

A = {{-a, 1}, {-c , 1}}

Wir berechnen nun die Inverse, dazu gilt es zunächst die Determinante zu berechnen:

detA = c - a ; diese ist nicht 0, falls a ungleich c. Ist dies gegeben, so können wir die Inverse bestimmen und somit eine eindeutige Lsg für dieses LGS. Die Inverse zu A lautet nun unter der Voraussetzung, dass det A ungleich 0 ist:

A^-1 = {{1, -1}, {c , -a}} *1/detA

Damit können wir nun schreiben:

{{1, -1}, {c , -a}} *1/detA *(b , d)^T = (x, y)^T

Durchführen der Matrixmultiplikation liefert uns dann:

x = (b - d)/detA = (b - d)/(c - a)

y = (bc - ad)/detA  = (bc - ad)/(c - a)


Somit lauten damit deine Lösungen:


x = (b - d)/(c - a)   für  a ungleich c

y = (bc - ad)/(c - a)  für a ungleich c


Angenommen dein LGS lautet wie folgt:

I) y = -x + 4

II) 2x + 4y = 1

So folgt dann durch Umformen auf die Form: y = ax + b

I)  y = -x + 4   (dies ist schon in gewünschter Form)

II)  2x + 4y = 1   II - 2x  II *1/4

--> II) y = -0.5x + 0.25


Damit lauten unsere Konstanten durch Koeffizientenvergleich:

a = -1   ;   b = 4   ;    c = -0.5   ;   d = 0.25

Damit folgt die Determinante zu:

detA = -0.5  +  1 =  0.5

Einsetzen in unsere Lösungsformel liefert damit:

x = (4 - 0.25)/(0.5) = 2*3.75 = 7.5

y = (-2 + 0.25)/(0.5) = (-2)*1.75 = -3.5


Überprüfen wir nun unsere Ergebnisse:

I) -3.5 = -(7.5) + 4 = -3.5

--> Stimmt schon mal

II) -3.5 = -0.5*(7.5) + 0.25 = -3.75 + 0.25 = -3.5

--> Stimmt ebenfalls

Damit würden dann die Lösungen für dieses Gleichungssystem lauten:

x = 7.5

y = -3.5

Antwort
von eckitz, 15

sicher das da - - x stehen soll?

Kommentar von HayvanHabibi ,

sorry das erst- soll ein minus sein und dann kommt der bruch also 1\2

Kommentar von eckitz ,

What?

ich habe das jetzt so verstanden:

1.    y=-x+4

2.    2x+4y=1

ist das korrekt oder flasch?

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