Frage von WillibergiUsermod Junior, 111

Keine reelle Lösung für Ungleichung trotz IL = ℝ?

x² + 12 ≥ 0

Logischerweise stimmt die Gleichung für alle
x ∈ ℝ - das Quadrat jeder Zahl ergibt ein positives Ergebnis.

Folgender Rechenweg:

x² + 12 ≥ 0       |-12
x² ≥ -12            |±√
x ≥ ±√-12

x ∈ ℝ => IL = {}

Aber {x | x ∈ ℝ} ⊆ IL bzw. IL = ℝ

Wo liegt hier der Denkfehler?

LG Willibergi

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von iokii, 56

Wurzel ziehen macht Ungleichungen kaputt, von daher darfst du den letzten Schritt nicht machen.

Kommentar von Willibergi ,

Danke! ^^

LG Wil

Antwort
von Awlexus, 59

Der Denkfehler besteht darin, dass du versuchst x in einer Ungleichung exakt zu bestimmen. Die Lösung lautet x^2 soll größer als -12. Das ist mit jeder Reelen Zahl gegeben, weil das multiplizieren zweier negativen Zahlen eine positive Zahl produziert. IL = { R }

Antwort
von IwanKaramasow, 54

Der Schritt x^2 ≥ a => x ≥ ±√a ist nicht richtig.

Anderes Beispiel: (-1)^2 >= 0 aber -1 ist nicht ≥ 0

Kommentar von Willibergi ,

Das liegt lediglich daran, dass

√(x²) = |x|

Somit:

(-1)² ≥ 0        |√
|-1| ≥ 0
1 ≥ 0     w. A.

EDIT: s. Antwort von iokii ^^

LG Willibergi

Kommentar von IwanKaramasow ,

Daumen hoch war ein versehen aber geschenkt ;)

"Das liegt lediglich daran, dass..." Das ändert nichts daran, dass x^2 ≥ a => x ≥ ±√a kein allgemeingültiger Schritt ist. Aber zugegeben, das Beispiel war nicht optimal gewählt.

Antwort
von WeicheBirne, 15

Nur so eine Spielerei und mathematisch sicherlich nicht korrekt, aber wenn Du die Definition

√(x²) =: |x|

auf komplexe Zahlen ausweitest wird es ganz lustig.

x² ≥ -12 = ( i  √12)²

√( x² ) ≥ √ (i √12 )²

|x| ≥ |i  √12| = √ (0² + (√12)^2 ) = |√12|

Zwei der vier Möglichkeiten dafür, nämlich

x ≥  - √12

und 

- x  ≥  - √12

liefert Dir dann bei entsprechender Fallunterscheidung die gesamte Lösungsmenge für x.

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