Frage von JotEs 05.05.2010

Kantenlänge berechnen

  • Hilfreichste Antwort von moosmutzelchen 01.06.2010

    Kann man das nicht mit Vektoren machen?
    Oder wegen meiner auch mit Kreisfunktionen in Koordinatenform (is schon spät...)
    Stellst dir Kreisfunktionen und 3 Tangenten, die jeweils 2 der 3 Kreise in einem bestimmten Punkt berühren (der lässt sich ja ermitteln).
    Dann die Schnittpunkte der Tangenten und die Abstände zwischen den Punkten. Zumindest funktioniert das bei der Grundfläche.
    Um das ganze 3D zu berechnen, müsste man wohl doch auf Vektoren zurückgreifen bzw an die Kugeln Ebenen legen, dann Schnittgeraden und dann Schnittpunkte der Schnittgeraden und dann die Abstände.
    Aber das mach ich jetzt nicht.
    Ich geh jetzt schlafen.

  • Antwort von lks72 12.12.2010

    Zunächst eine Erklärung zur Skizze:
    Es ist eine Ansicht von der Seite. Kugel4 ist exakt hinter Kugel1 und deshalb nicht zu sehen. Die Strecke SD ist die Höhe des rechten Dreiecks des Außentetraeders, die Ansicht ist also so, dass man vom rechten Dreieck gerade nichts sieht, nur eine eindimensionale Linie sozusagen.

    Sei r nun der Radius der 4 Kugeln und a die Kantenlänge des Außentetraeders.

    Der Kosinus des Winkels w(FSD) berechnet sich zu cos(FSD) = SF / SD.

    SF ist die Höhe des Außentetraeders, diese beträgt (wie in jedem Tetraeder) SF = a * wurzel(2/3).
    SD ist die Höhe des rechten gleichseitigen Dreiecks (welches man ja nicht sieht), dafür gilt SD = a/2 * wurzel(3).

    Damit ergibt sich cos(FDS) = 2 * wurzel(2/3) / wurzel(3) = 2/3 * wurzel(2).

    Nun ist sin(FSD) = wurzel(1-cos^2(FSD))
    => sin(FSD) = wurzel(1-4/9 * 2)
    => sin(FSD) = wurzel(1-8/9) = wurzel(1/9)
    => sin(FSD) = 1/3 (Der Winkel liegt bei etwa 19 Grad, dies ist aber unwichtig)

    Weiter ist sin(FSD) = AC / SA, also

    SA = AC / sin(FSD) = r / (1/3) = 3r.

    AB ist die Raumhöhe des Innentetraeders (aus den 4 Kugelmittelpunkten), dies ergibt:
    AB = 2r * wurzel(2/3).

    Schließlich ist BF = r.

    Die Summe SA + AB + BF = SF ergibt die Raumhöhe des Außentetraeders, dies ist:

    a * wurzel(2/3) = 3r + 2r * wurzel(2/3) + r
    => a * wurzel(2/3) = 4r + 2r * wurzel(2/3), und jetzt alles mal wurzel(3/2)

    ..

    => a = 4r * wurzel(3/2) + 2r.

    Ich denke mal, dies müsste es sein.

  • Antwort von lks72 12.12.2010

    Sorry, Fehlpost ohne Bild.

  • Antwort von Treverix 05.05.2010

    Ich denke, man kann es zweidimensional lösen und es geht über die Berechnung der Kantenlänge eines gleichseitigen Dreiecks, das einen Kreis mit dem Radius des Golfballs umschließt.

    Aus der Skizze vermute ich, die Kantenlänge des Tetraeders ist dann gleich der doppelten Seitenlänge des Dreiecks.

    Mit der Berechnung dieses Dreiecks muss ich dich aber leider alleine lassen ;)

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