Frage von JotEs,

Kantenlänge berechnen

Eine Aufgabe, die mich schon lange (und immer wieder mal) beschäftigt, deren Lösung jedoch weder ich noch mathematisch sehr begabte Bekannte lösen konnten.

Mal sehen, ob es hier jemandem gelingt ...

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Vier Golfbälle mit einem Durchmesser von (keine Ahnung, wie groß der Durchmesser eines Golfballes ist, sagen wir mal) 5 cm (oder gern auch allgemein d) sollen verpackt werden. Die Verpackung soll die Form eines Tetraeders haben. Die Golfbälle müssen möglichst dicht gepackt sein (was vermutlich bedeutet, dass die Verbindungslinien ihrer Mittelpunkte ebenfalls einen Tetraeder bilden müssen).

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Wie groß muss nun die Kantenlänge des Verpackungs-Tetraeders sein?

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Hilfreichste Antwort von moosmutzelchen,

Kann man das nicht mit Vektoren machen?
Oder wegen meiner auch mit Kreisfunktionen in Koordinatenform (is schon spät...)
Stellst dir Kreisfunktionen und 3 Tangenten, die jeweils 2 der 3 Kreise in einem bestimmten Punkt berühren (der lässt sich ja ermitteln).
Dann die Schnittpunkte der Tangenten und die Abstände zwischen den Punkten. Zumindest funktioniert das bei der Grundfläche.
Um das ganze 3D zu berechnen, müsste man wohl doch auf Vektoren zurückgreifen bzw an die Kugeln Ebenen legen, dann Schnittgeraden und dann Schnittpunkte der Schnittgeraden und dann die Abstände.
Aber das mach ich jetzt nicht.
Ich geh jetzt schlafen.

Kommentar von moosmutzelchen,

Vektoren und Schnittpunkte sind viel zu kompliziert.
Die Formel dafür lautet:
a=6r/√3 + 2r
Herleiten lässt sie sich aus der Höhenformel für gleichseitige Dreiecke.
Dieses hat die Höhe 3r+hk, wobei hk die Höhe eines kleinen gleichseitigen Dreiecks mit a=2r ist (mit den Eckpunkten M1, M2 und M3 der Golfbälle).
Somit sind bei dir alle Kanten 13,66 cm lang.

Kommentar von lks72,

Also ich komme auf a = 4r * wurzel(3/2) + 2r, also geringfügig etwas anderes. Ich rechne das aber noch einmal in Ruhe durch und melde mich dann nochmal.

Kommentar von moosmutzelchen,

Na endlich mal ein Feedback.
Ich kram derweil mal meine Herleitung raus.

Kommentar von moosmutzelchen,

http://img41.imageshack.us/img41/5791/golfball.jpg
Mit Skizze, die krumm und schief ist :-D
Meine Kreise werden immer Eier.
Ups, das letzte Multiplikationszeichen in der letzten Zeile ist eigentlich ein Plus - sehe ich grad.
Naja...

Kommentar von lks72,

Erklär mal bitte, was in deiner Zeichnung das Außendreieck darstellen soll Ist das eine Draufsicht von oben? Dann ist das Außendreieck nicht die Grundfläche der Verpackung, denn dies wäre nur der Fall, wenn die Verpackung senkrecht nach oben ginge, was sie aber nicht tut. Die richtige Verpackung ist größer, da die Seitenflächen schräg stehen.

Kommentar von moosmutzelchen,

Öhm.
Ja.
Das sollte eigentlich die Grundfläche sein, aber du hast Recht - die wird ja nach oben hin schmaler und somit passen die Bälle nicht mehr rein.
Also müsste das Dreieck mit den Maßen ja genau in der Mitte der Kugeln hängen und die eigentliche Kantenlänge wäre größer.
Also doch mit Ebenen und Vektoren?
*zusammenbrech

Kommentar von lks72,

Du kannst deine Zeichnung verwenden, allerdings sind die Außenlinien dann die Höhen der Dreiecke des Außentetraeders. Das, was du rechts rot als Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit a = 2r betitelt hast, müsste dann die Höhe des Innentetraeders sein, der aus den Mittelpunkten der vier Bälle gebildet wird. Von dem unteren Ball (in deiner Skizze) bis zur Spitze unten sind es dann allerdings nicht 2r, dies muss man mit sin usw. ausrechnen. Die Höhe des "Außendreiecks" in deiner Skizze ist dann in Wirklichkeit die Raumhöhe des Außentetraeders, aus dieser lässt sich dann die Kantenlänge angeben. So hab' ich es gemacht und kam auf das obige Ergebnis. Du kannst dir die Idee ja mal durch den Kopf gehen lassen und nachrechnen. Ich poste bei Gelegenheit auch noch mal eine Skizze mit ausführlicher Rechnung.

Kommentar von JotEs,

Auch wenn ich das alles noch nicht vollständig nachvollziehen konnte - hilfreich war die Diskussion hier auf jeden Fall, denn sie hat neue Denkanstöße geliefert.

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Ganz herzlichen Dank natürlich auch an lks72 für seine Beiträge!

Antwort von lks72,

Zunächst eine Erklärung zur Skizze:
Es ist eine Ansicht von der Seite. Kugel4 ist exakt hinter Kugel1 und deshalb nicht zu sehen. Die Strecke SD ist die Höhe des rechten Dreiecks des Außentetraeders, die Ansicht ist also so, dass man vom rechten Dreieck gerade nichts sieht, nur eine eindimensionale Linie sozusagen.

Sei r nun der Radius der 4 Kugeln und a die Kantenlänge des Außentetraeders.

Der Kosinus des Winkels w(FSD) berechnet sich zu cos(FSD) = SF / SD.

SF ist die Höhe des Außentetraeders, diese beträgt (wie in jedem Tetraeder) SF = a * wurzel(2/3).
SD ist die Höhe des rechten gleichseitigen Dreiecks (welches man ja nicht sieht), dafür gilt SD = a/2 * wurzel(3).

Damit ergibt sich cos(FDS) = 2 * wurzel(2/3) / wurzel(3) = 2/3 * wurzel(2).

Nun ist sin(FSD) = wurzel(1-cos^2(FSD))
=> sin(FSD) = wurzel(1-4/9 * 2)
=> sin(FSD) = wurzel(1-8/9) = wurzel(1/9)
=> sin(FSD) = 1/3 (Der Winkel liegt bei etwa 19 Grad, dies ist aber unwichtig)

Weiter ist sin(FSD) = AC / SA, also

SA = AC / sin(FSD) = r / (1/3) = 3r.

AB ist die Raumhöhe des Innentetraeders (aus den 4 Kugelmittelpunkten), dies ergibt:
AB = 2r * wurzel(2/3).

Schließlich ist BF = r.

Die Summe SA + AB + BF = SF ergibt die Raumhöhe des Außentetraeders, dies ist:

a * wurzel(2/3) = 3r + 2r * wurzel(2/3) + r
=> a * wurzel(2/3) = 4r + 2r * wurzel(2/3), und jetzt alles mal wurzel(3/2)

..

=> a = 4r * wurzel(3/2) + 2r.

Ich denke mal, dies müsste es sein.

Antwort von lks72,

Sorry, Fehlpost ohne Bild.

Antwort von Treverix,

Ich denke, man kann es zweidimensional lösen und es geht über die Berechnung der Kantenlänge eines gleichseitigen Dreiecks, das einen Kreis mit dem Radius des Golfballs umschließt.

Aus der Skizze vermute ich, die Kantenlänge des Tetraeders ist dann gleich der doppelten Seitenlänge des Dreiecks.

Mit der Berechnung dieses Dreiecks muss ich dich aber leider alleine lassen ;)

Kommentar von JotEs,

Erst einmal danke für deine Antwort.

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Nun, die Kantenlänge a eines gleichseitigen Dreieckes, das einen Kreis mit dem Radius r umschließt (dies wäre dann also der Inkreis dees Dreieckes) ist nicht schwierig zu berechnen:

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a = 2 * r * 2.Wurzel(3)

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Mit dem Beispiel r = 2,5 cm ergibt sich daraus:

a = 2 * 2,5 * 2.Wurzel(3) = 8,660...

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Aber was kann ich nun damit anfangen?

Du meinst, der Verpackungstetraeder müsste die doppelte Kantenlänge haben, also 17,32 cm?

Worauf gründest du diese Ansicht?

Kannst du mir irgenwie deine Skizze zukommen lassen?

Insbesondere interessiert mich, wie du aus dem gleichseitigen Dreieck, das EINEN Ball umfasst, auf die Kantenlänge des Tetraeders schließt.

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