Frage von KannKeinMathe5, 48

Kann uns jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Wr wollen folgende Matheaufgabe mit dem Additionsverfahren lösen, kommen aber ab einem bestimmten Punkt nicht mehr weiter.

Die Gleichung lautet: y/4+x/5=3/20 und 4x/10+y/2=3/10

Unser Ansatz ist nun, dass wir die Brüche verschwinden lassen wollen und dies nur funktioniert, indem wir die erste Gleichung x20 nehmen und die zweite gleichung x10. Allerdings wissen wir nicht genau, was in der zweiten Gleichung dann mit den 4x passiert. Kann da jemand helfen? Vielen Dank!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 27

Hallo,

wie die anderen bereits geschrieben haben, kannst Du beide Gleichungen mit dem Hauptnenner - also die erste mit 20, die zweite mit 10 - multiplizieren, um die Brüche verschwinden zu lassen. Wenn Du das gemacht hast, sehen beide Gleichungen so aus: 4x+5y=3.

Du kannst nun irgendeinen Wert für x einsetzen und findest immer ein y, mit dem die Gleichung stimmt. Deine Lösung ist also kein Punkt: (x|y), sondern zwei identische Geraden. Du kannst die Gleichung nach y auflösen:
y=(-4/5)x+3/5.

Diese Gerade hat eine Steigung von -4/5 und geht bei 3/5 durch die
y-Achse.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von KannKeinMathe5 ,

also setze ich für x beispielsweise 5 ein und hab dann die gleichung?

Kommentar von Willy1729 ,

Hallo,

nein, die Gleichung lautet y=(-4/5)x+3/5 und ist eine sogenannte lineare Gleichung, die als eine Gerade veranschaulicht werden kann. Wenn Du für x eine 5 einsetzt, bekommst Du einen entsprechenden Wert für y heraus, nämlich -17/5; Du bekommst also ein Wertepaar (5|-17/5), das einen Punkt auf dieser Geraden darstellt. Setzt Du einen anderen Wert für x ein, bekommst Du auch einen anderen Wert für y. Alle diese Wertepaare aber haben gemeinsam, daß sie alle Punkte auf ein- und derselben Geraden, nämlich der Geraden y=(-4/5)x+3/5 darstellen.

Eine Funktionsgleichung wie diese mit zwei Variablen ordnet einem beliebigen x aus einer vorher definierten Menge, dem Definitionsbereich, ein nach einer bestimmten Rechenvorschrift - hier lautet sie: Multipliziere eine Zahl x mit (-4/5) und addiere anschließend 3/5 - ermittelten Wert y zu. Beide zusammen ergeben jeweils ein Wertepaar, das als Punkt in ein Koordinatensystem eingetragen werden kann. Falls Deine beiden Gleichungen nicht identisch gewesen wären, hättest Du entweder eine Lösung gefunden in der Form x=irgendeine Zahl und y=noch eine Zahl. Das hätte bedeutet, die beiden Gleichungen stellen zwei Geraden dar, die weder identisch noch parallel sind, sich also in einem Punkt schneiden (weil sie sich in derselben Ebene befinden, bei Geraden im dreidimensionalen Raum gibt es noch die Variante windschief: sie schneiden sich nicht, sind aber weder parallel noch identisch, weil eine über der anderen herläuft wie Autobahnen an einem Autobahnkreuz - eine wird in Form einer Brücke über die andere geleitet.)

Es hätte auch sein können, daß beide Gleichungen Gleichungen von parallelen, aber nicht identischen Geraden dargestellt hätten: In diesem Fall hättest Du keine Lösung gefunden, sondern es wäre etwas herausgekommen wie 0=3 oder etwas in der Art.

Viele von Euch Matheschülern machen den Fehler, daß sie zwar Rechenverfahren anwenden, sich aber nicht überlegen, was sie da eigentlich genau ausrechnen. Da wird eine pq-Formel genommen, obwohl sie gar nicht nötig ist. Da werden Gleichungen und ihre Lösungen verwechselt usw. Ihr vergeßt, daß Mathematik nicht einfach nur ein Jonglieren mit irgendwelchen Zahlen ist, sondern einen konkreten Hintergrund hat. Ihr lernt nur für den nächsten Test, paukt Euch irgendwelche Formeln ein, die dann wieder schnell vergessen werden; ohne zu überlegen, wo so eine Formel herkommt, wofür man sie wirklich verwenden kann und wofür nicht, und ob sie wirklich hieb- und stichfest ist. Im schlimmsten Fall habt Ihr einen Unterricht, in dem die Druckfehler aus den Lösungsheften gleich mit unterrichtet werden - und niemand merkt, daß da etwas nicht stimmen kann. Gebt Euch nicht damit zufrieden. Hakt nach, wenn Ihr im Unterricht etwas nicht versteht, nervt Eure Lehrer, bis Ihr wirklich wißt, was das bedeutet, das da auf der Tafel/ dem Arbeitsblatt steht. Die Mathematik ist eine faszinierende Kunst, die es nicht verdient hat, ein Haßfach zu sein oder als etwas Langweiliges wahrgenommen zu werden. Sie schult den Verstand, bietet immer noch eine Menge Geheimnisse und ist in der Natur, in der Kunst und in der Technik allgegenwärtig. In jeder Kieselalge, jedem Seestern, jeder Sonnenblume steckt Mathematik, die für ein ganzes Schülerleben und mehr reicht. 

Was meinst Du, warum ich mir hier regelmäßig die Finger wundtippe, um nicht nur irgendwelche Lösungen zu liefern, sondern auch Erklärungen dazu? Weil ich es schade finde, daß die Mathematik so herabgewürdigt wird oder auch so schlecht vermittelt. Ich bin alles andere als ein Mathegenie und muß über manche Aufgaben lange nachgrübeln (manches kapiere ich auch ncht). Aber ich habe etwas von der Faszination dieser Wissenschaft gespürt - und das läßt mich nicht los. Laßt Euch begeistern.

Alles Gute,

Willy

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 45

Der Bruch verschwindet einfach. Statt 4x/10 steht dann da 4x.

4x/10 * 10 = 4x, die 10 kürzt sich heraus.

Kommentar von Volens ,

Es ist immer nützlich, Gleichungen mit den Hauptnennern beteiligter Brüche durchzumultiplizieren und das Additionsverfahren danach mit ganzzahligen Koeffizienten durchzuführen. Das vermeidet zahlreiche Fehlermöglichkeiten!

Kommentar von utnelson ,

Das wurde doch auch gemacht!?

Kommentar von Suboptimierer ,

Ja, aber nur weil ich es in der gleichen Frage zuvor vorgeschlagen habe. Diese Frage wurde allerdings gelöscht. Volens Hinweis ist nützlich, dass man generell die Brüche zuerst versuchen sollte, zu eliminieren.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 22

Die Gleichungen sind sehr spezieller Natur. Man kann sich eine Hilfsgröße n erfinden, und wenn dann immer
x : y = (5n + 1) : (-4n - 1)
ist, ist das LGS lösbar.
Eine Unbekannte ist von der anderen abhängig!

Antwort
von utnelson, 48

erste Gleichung wird zu 5y+4x=3 und die zweite 4x+5y=3

Kommentar von KannKeinMathe5 ,

aber lösen sich die gleichungen dann nicht gegenseitig auf?

Kommentar von utnelson ,

Berechnen kannst du es nicht, da du für 2 unbekannte 2 unabhängige Gleichungen brauchst.

Kommentar von KannKeinMathe5 ,

wir müssen die Gleichungen je nach einer variablen auflösen. wenn das nicht geht, ist unsere aufgabe leider nicht vollständig gelöst.

Kommentar von utnelson ,

Das sind aber im Prinzip keine 2 Gleichungen sonder 2mal die Gleiche also nur eine: Lösung ist also x=3/4-5/4y und y=3/5-4/5x

Kommentar von KannKeinMathe5 ,

wie genau bist du darauf gekommen?
und was müssen wir danach machen? müssen wir dann etwas in eine ausgangsgleichung setzen und dann wie gewohnt ausrechnen?

Kommentar von utnelson ,

Du bekommst keinen exakten Zahlenwert raus. Weil du zum lösen einer Gleichung mit 2 unbekannten Variablen wie gesagt 2 von einander unabhängige Gleichungen brauchst. Das siehst du ja schon wenn du die Brüche verschwinden lässt. Somit stellst du die Gleichung einfach nach ihrer jeweiligen Variable um und dann ist Ende mehr kann man daran nicht lösen.

Kommentar von KannKeinMathe5 ,

okay vielen dank, du hast uns sehr geholfen! :-)

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