Frage von Niheaa, 27

Kann mit der Formel U = (√(p^2*c^2 + E0^2) - E0)/e die Beschleunigungspannung eines Protons berechnen?

Kann man mit Formel U = (√(p^2*c^2 + E0^2) - E0)/e (U: Beschleunigungspannung, e: Elementarladung, E0: Ruheenergie) die Beschleunigungspannung eines Protons Berechnen???

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 7

Kann mit der Formel U = (√{p²c² + E₀²} – E₀)/e die Beschleunigungspannung eines Protons berechnen?

Wenn der Impuls p⃗, bzw. |p› gegeben ist, den das Proton nach der Beschleunigung haben soll, natürlich.

Gegebener Impuls

Die Formel beruht auf der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung

(1)    E₀² = (mₚc²)² = E² – c²‹p|p› = E² – c²p²
     ⇔ E² = E₀² + c²p²
     ⇒ E = √{E₀² + c²p²}

(‹p|p› ist das Skalarprodukt des Impulses |p› mit sich selbst, und p ist sein Betrag) und der Berechnung der kinetischen Energie

(2) Eₖ = E – E₀ = E – mₚc² = √{E₀² + c²p²} – mₚc² = U·e.

Der enorme Vorteil der relativistischen Rechnung besteht darin, dass es völlig egal ist, ob hier noch der Newton-Limes Eₖ ≪ E₀ vorliegt und man noch

(2a) Eₖ ≈ p²/2mₚ

benutzen kann oder nicht mehr.

Gegebene Energie

Ist Eₖ oder E selbst gegeben, braucht man die Rechnerei gar nicht. Dann ist nämlich einfach

(3) U = Eₖ/e = (E – E₀)/e = (E – mₚc²)/e

und fertig.

Gegebene Geschwindigkeit

Ist die gewünschte Geschwindigkeit |v› vorgegeben, muss man entweder erst den Impuls

(4) |p› = m·γ·|v› = m·|v›/√{1 – ‹v|v›/c²}

berechnen (dabei heißt γ der Lorentz-Faktor, den ETechnikerfx erwähnt hat) und dann (2) anwenden, oder man verwendet

(5) U·e = Eₖ = mₚ(γ – 1)c²,

was eigentlich auf dasselbe hinausläuft.

Antwort
von ETechnikerfx, 12

Nein. Was hier fehlt ist zum einen die Geschwindigkeit, auf welche das Proton beschleunigt werden soll. Zum Anderen möchtest du den Beschleunigungsvorgang relativistisch betrachten, womit du mittels des Lorentzfaktors rechnen musst. Hier ein Link der dir dabei helfen kann, das Problem zu ergründen:

http://www.didaktik.physik.uni-muenchen.de/elektronenbahnen/kanone/relativistisc...

Anstatt der Masse des Elektrons, benötigst du hier lediglich die Masse des Protons.

Kommentar von PhotonX ,

Warum denn nicht? Die benötigte Spannung ist Geschwindigkeit oder Impuls abhängig, in der Formel des Fragestellers kommt eben der Impuls statt der Geschwindigkeit vor. Der Lorentz-Faktor ist in die relativistische Energie-Impuls-Beziehung schon eingebaut.

Antwort
von PhotonX, 7

Ja, kann man!

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