Frage von Froson, 33

Kann mir wer diese Funktionsschar Erklären?

F, a (x)=a^2x^3-6ax^2+9x

Ich verzweifel ein bisschen

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe, 16

Du führst Deine Funktionsanalyse "ganz normal" durch. Du musst Dir nur immer wieder vergegenwärtigen, dass a lediglich eine (unbekannte) Zahl ist. Es kann also helfen, wenn Du Dir manchmal für a eine Zahl ausdenkst und dann überlegst, wie Du mit dieser Zahl rechnen würdest.

Es kann gut sein, dass in allen Ergebnissen das a vorkommt (muss aber nicht).

So sind die z.B. Nullstellen bei x = 0 sowie x = 3/a.
In diesem Fall musst Du beachten, dass es die zweite Nullstelle nur für a ≠ 0 gibt.

Ähnliches gilt bei den Extremstellen (bei x = 1/a und x = 3/a) sowie Wendestellen (bei x = 2/a).

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 16

Du gehst hier vor wie bei "normalen" Funktionen auch, nur dass Du das a immer mitschleppst.

Für die Nullstellen x ausklammern, und für die Nullstellen der Klammer diese durch a² teilen, damit Du die pq-Formel anwenden kannst (x²-6/a x+9/a²=0).
Du wirst erstaunt sein, wie simpel die Lösung hierzu aussieht...

Ableiten geht ganz normal, nur sind halt die Extremstellen von a abhängig und nicht eindeutige x-Werte...

Kommentar von Froson ,

Was ist mit der ableitung für die extrempunkte

Kommentar von Rhenane ,

Die Formel fürs Ableiten wirst Du sicher kennen. a ist einfach nur ein konstanter Faktor, der bestehen bleibt.

Wie Ellejolka schon geschrieben hat: Hier wird Dir keiner die komplette Kurvendiskussion vorlegen...

Antwort
von HanzeeDent, 6

D=IR

Für a = 0:

F,0(x) = 9x

NS: x1 = 0

Keine Extrem-, Wendestellen.

sms

Für a =/= 0

Nullstellen:

F(x) = x(a^2x^2-6ax+9) = x(ax-3)^2 = a^2x(x-3/a)^2

x1 = 0 
x2,3 = -3/a

Extremstellen/Monotonie:

F'(x) = 3a^2x^2-12ax+9

x1,2 = (12a+-sqrt(144a^2-108a^2))/(6a^2) = 
= 2/a+-sqrt(36a^2)/(6a^2)=2/a+-1/a

x1 = 3/a 
x2 = 1/a

F''(x) = 6a^2x-12a

F''(3/a) = 6a --> TP(3/a|F(3/a)) für a>0 | HP(3/a|F(3/a)) für a<0

F''(1/a) = -6a --> HP(1/a|F(1/a)) für a>0 | TP(1/a|F(1/a)) für a<0

Fall 1 (a>0):

]-inf;1/a] sms 
[1/a;3/a] smf 
[3/a;inf] sms

Fall 2 (a<0):

]-inf;3/a] sms 
[3/a;1/a] smf 
[1/a;inf] sms

Wendestellen/Krümmungsverhalten:

F''(x) = 6a^2x-12a

x1=2/a --> WP(2/a|F(2/a))

F'(x1)  =/= 0 --> kein TeP

F'''(x) = 6a^2 > 0 für alle a e IR\{0}

]-inf;2/a] konkav 
[2/a; inf[ konvex

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