Frage von Influxis, 27

Kann mir mal wer erklären wieso diese Formel funktioniert?

Es sind drei Koordinaten gegeben um den Flächeninhalt eines Dreiecks mit dieser Formel auszurechnen: "A = 1/2 * [xa(yb-yc)+xb(yc-ya)+xc(ya-yb)]"

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Roach5, 21

Ja was sind denn die drei Koordinaten genau, sind diese im R² oder im R³? Alle diese Sachen sind WICHTIG, da der Beweis im R² leicht von dem im R³ abweicht.

Wenn du drei Punkte im R² gegeben hast, A B und C, dann bildest du die Vektoren, die zwei aneinanderliegende Seiten des Dreiecks repräsentieren, z.B. B-A und C-A als die Seiten, die an der Ecke A liegen. Die Determinante der Matrix, die durch diese beiden Vektoren induziert wird, gibt die Fläche des von diesen aufgespannten Parallelogramms. Das noch durch 1/2 teilen und du bekommst die Fläche des Dreiecks.

Im R³ ist die Determinante von zwei Vektoren 0, das gibt uns ein kleines Problem. Deshalb müssen wir erst die Ebene konstruieren, in welcher das Dreieck enthalten ist (wenn wir also die Seiten B-A und C-A als Richtungsvektoren benutzen und A als Stützvektor), hier haben wir jetzt einen zweidimensionalen Raum, in dem wir rechnen können. Jetzt wählen wir uns ein Orthonormalsystem für diesen Raum und bekommen für die Seiten B-A und C-A Koordinaten in der Ebene, die jetzt nurnoch zwei Komponenten enthalten. Jetzt wieder die beiden Vektoren nebeneinander schreiben, das gibt uns eine Matrix, der Betrag der Determinante gibt uns die Fläche des Parallelogramms, durch 1/2 teilen und fertig. Das musst du nur einmal per Hand machen und du siehst, dass das ganze rein zufällig (oder auch nicht?!) mit dem Betrag von (B-A)x(C-A) übereinstimmt, das Kreuzprodukt nimmt uns also die gesamte Arbeit ab!

Bemerkung: Ich sehe grade, dass der zweite Buchstabe der Index sein soll, also xa als x-Koordinate des Punktes a, dann arbeiten wir also im R². Der erste Paragraph meiner Antwort gibt dir genau an, wie du auf diese Formel kommst.

LG

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 27

dann musst du mal nach einem Beweis bzw nach einer Herleitung der Formel

suchen; - google

Kommentar von Influxis ,

Nein, da ist es zu kompliziert erklärt >< ich suche nach einer einfachen Erklärung :D

Antwort
von Roland22, 11

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/flaecheninha...

Grüße

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